６　ベクトルの基底変換･座標変換
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反変ベクトル，共変ベクトルの区別がない３次元ユークリッド空間の座標変換については，を Appendix1 を参照してください。

１．ベクトルの座標変換の行列

［１］　３次元ベクトル空間 V の基底(＝座標系)が変われば，それに応じてV の元x の(成分)座標も変化します。ここでは基底Σ からΣ 'への変換(＝基底どおしの関係)が与えられたときのベクトル成分間の変換式を導きます。

考えている異なる２つの座標系の基底を，

Σ  ＝｛ e₁, e₂, e₃ ｝
Σ' ＝｛e'₁,e'₂,e'₃ ｝

とします。また，あるベクトルx をそれぞれの座標系で，

x　＝ x¹ e₁＋x² e₂ ＋x³ e₃　 　(座標系Σ)　　　　　
　　＝ x'¹e'₁＋x'²e'₂＋x'³e'₃ 　 (座標系Σ ')　　

とします。問題は，2つの座標系でのべくトル成分

を求めることです。

［２］　まず，Σ 'の各基底を構成するベクトルe'_j もベクトルの一つですから座標系Σ の基底を用いて一次結合で一意的に表せます。それを

すなわち，     ↑注意：Σ が正規直交基底の場合は，両辺e_kとの内積を計算して，e_k・e'_j ＝p^k_j とも書きなおせる！

e'₁＝p¹₁e₁＋p²₁e₂＋p³₁e₃≡ (p¹₁,p²₁,p³₁)
e'₂＝p¹₂e₁＋p²₂e₂＋p³₂e₃≡ (p¹₂,p²₂,p³₂)        ← 座標系Σでの座標表示です。
e'₃＝p¹₃e₁＋p²₃e₂＋p³₃e₃≡ (p¹₃,p²₃,p³₃)　　

とします。この　p^j_k　はΣとΣ'が与えられると同時に与えられる(定まる)ものです。

［３］　ベクトルx　はどちらの基底で表しても同じなので，

x ＝x¹e₁＋x²e₂＋x³e₃＝ x'¹e'₁＋x'²e'₂＋x'³e'₃

が成り立ちます。この右辺に［２］で書いたe'₁，e₂'，e'₃ を代入してe₁，e₂，e₃ について整理すると，

x¹e₁＋x²e₂＋x₃e₃ ＝ (p¹₁x'¹＋p¹₂x'²＋p¹₃x'³)e₁
　　　　　　　　　　　＋(p²₁x'¹＋p²₂x'²＋p²₃x'³)e₂
　　　　　　　　      ＋(p³₁x'¹＋p³₂x'²＋p³₃x'³)e₃

e₁，e₂，e₃　は１次独立なので両辺の各 e_j の係数が等しいとして，

x¹＝p¹₁x'¹＋p¹₂x'²＋p¹₃x'³

など，すなわち，

を得ます。

［４］　この結果を行列を用いて表すと，

x1 　 p11 p12 p13 x'1 　⇔　x ＝ Px'　　 x2  ＝ p21 p22 p23 x'2 x3 　 p31 p32 p33 x'3

ここで，

p11 p12 p13　 　⇒　　P ≡ ［ pjk ］ p21 p22 p23 p31 p32　p33

を　座標変換の行列　(または，基底変換の行列)　といいます。

［５］　特に，ベクトル空間の基底が正規直交系である場合は，P は直交行列 [#] となります。

詳しくは　固有値論入門：　第６章　「ユニタリ行列」　を参照してください。　⇒　[#]
(なおユニタリ行列とは直交行列の成分として複素数まで考えたものです。)

なお，最初の［ 基底変換 ］は形式的ですが，「基底を構成するベクトルを成分とする」ようなベクトル ”モドキ” (e'₁,e'₂,e'₃) などを考えてP の役割を下の一覧のように書けることを確かめてみてください。

(e'1,e'2,e'3) ＝(e1,e2,e3)P　　　：　　　　 x1 　 x'1 x2  ＝ P x'2 x3 　 x'3 e'1 　 e1 　　　　　：　　　　　(x1,x2,x3)＝(x'1,x'2,x'3)tP e'2  ＝tP e2 e'3 　 e3

(e1,e2,e3)＝(e'1,e'2,e'3)Q 　　　　： x'1 　 x1 x'2  ＝Q x2 x'3 　 x3 e1 　 e’1 　　　　　：　　　　(x'1,x'2,x'3)＝(x1,x2,x3)tQ e2 ＝tQ e’2 e3 　 e’3

和記号で書くと，

と Q を用いた表現が得られます。ただし，正規直交系の場合，

Q＝P-1　　⇔　　 q11 q12 q13　 ＝ p11 p21 p31　 q21 q22 q23 p12 p22 p32 q31 q32 q31 p13 p23　p33

２．双対ベクトル空間の座標変換

［１］　２つの基底変換の関係式　e'_j ＝ Σ p^k_je_kが与えられると，それぞれの基底に対応する双対基底 e'^k と e^j　(←添え字が上がっていることに注意)の間の変換式も

ek (em) ＝e'k (e' m)＝δkm   　[#]

(←　ここでもek　が線形写像を起源とすることを意識した記号法を使いました。慣れてきたら内積記号で表してもOKです。)

なる関係から一意的に決まるはずです。まず，それぞれの基底系で，Q (＝[ q^m_n ] ) をP の逆行列として，　

(e'₁,e'₂,e'₃)Q ＝(e₁,e₂,e₃)　⇔  Σ e'_m q^m_n ＝ e_n

と書いておきます。　そこで，これを用いて次の量を計算すると，

Σ p^j_ke'^k(e_n) ＝ Σ p^j_ke'^k(Σ e'_m q^m_n )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　線形性と

＝ΣΣp^j_kq^m_n e'^k(e'_m )   
　　　　　　　　　　　　　↓e'^k (e'_m)＝ δ_km     

＝ Σp^j_kq^k_n  
　　　　　　　　　　　　　↓ Q はP の逆行列なので，
＝δ_jn　    

これと，e ^j(e_n)＝δ_jn　とを較べて，

でなければならないことがわかります。ベクトル空間では基底変換が，e_j ＝ Σq^k_je’_k　で表されたことを思い出せば，

双対空間での基底変換の行列は，ベクトル空間におけるPを^tQを置き換えればよい

ことが分かります。つまり，

［２］　

以上，まとめると，（同様な計算なので導出は省略します。）

最後にベクトル空間と双対空間との関係を一つにまとめると次のとおりとなります。

［　基底　］　　　 座標系１　 座標系２ ベクトル空間 Σ＝｛e1,e2,e3｝ ej ＝ Σqkje'k Σ' ＝｛e'1,e'2,e'3｝　 ⇔ e'j ＝ Σpkjek ｅj=Σgjkek↓↑ej=Σgjkｅk 　 ↓↑ 双対空間 　Σ*＝｛e1,e2,e3｝ ej ＝ Σpjke'k Σ'* ＝｛e'1,e'2,e'3｝ ⇔ e'j ＝ Σqjkek 　［　成分　］　　　　　　　　　　　 座標系１ 　 座標系２ 反変成分 x1 x2 x3 xj ＝ Σ pjkx'k x'1 x'2 x'3 ⇔ x'j ＝Σ qjkxk xj=Σgjkxk↓↑xj=Σ gjkｘk ↓↑ 共変成分 ( x1,x2,x3 ) xj ＝ Σ qkjx'k (x'1,x'2,x'3 ) ⇔ x'j ＝ Σ pkjxk 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 アインシュタインの規約ではこの表のΣの記号は省略されます。

基底変換Σ→Σ’を定める基底変換の行列Ｐと同じ行列によって変換される成分を共変成分，逆行列Qによって変換される成分を反変成分と呼んでいることが分かります。

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P の逆行列 P^-1＝Q≡ ［ q^j_k ］の成分を用いて，

e'j＝ Σqjkek

⇔

と書けることを示すこともできます。

e'_ｎ ＝ Σp^k_ｎe_k　を用いると，

Σq^j_ke^k (e'_n)   ＝Σq^j_ke^k (Σp^ｍ_ｎe_ｍ)＝Σq^j_kp^ｋ_ｎ＝δ_jn

これをe' ^j(e'_n)＝δ_jn　と較べれば，

e' ^j＝Σq^j_ke^k

を得る。これをベクトル空間における基底変換，e'_j ＝ Σp^k_je_k　 と比較すれば，ベクトル空間の^tPが双対空間のQに対応していることを示している。