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９ グリーンの定理 |
| f-denshi.com ［目次へ］ 最終更新日：09/12/04 | |
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グリーンの第１等式，第２等式も参考にしてください。 ⇒[#]
| グリーンの定理 有界な曲面Sの周囲をCとするとき，
が成り立つ。これは次の個別に成り立つ２つの積分の和である。
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［証明］
ガウスの定理[#]：
∇･A dV＝ A･n dS
において，
A＝［φ(x,y),−ψ(x,y), 0］
とし，積分範囲は右図のように底面が xy 平面内にある領域 D (この周囲を C
とする)で高さが1の鉛直に立つ柱とします。そしてこの柱の
内部を V
表面を S ＝D(底面)＋D'(上面)＋S'(側面)
とすると，ガウスの定理の左辺（体積分）は，
∇･A dV ＝ ∂φ − ∂ψ dxdydz ∂x ∂y
＝ ∂φ − ∂ψ dxdy･ dz ∂x ∂y
＝ ∂φ − ∂ψ dxdy ∂x ∂y
一方，ガウスの定理の右辺(面積)は上面と底面に関する積分はキャンセルし合うので，側面S'について考えれば十分です。
このとき，側面では，曲線Cの微分長さをds とすれば，
dS ＝ dzds
とおけるので，側面上の法線単位ベクトルを，n ＝(cosα，sinα，0)とすれば，
A ･ndS ＝ (φcosα−ψsinα)dzds '
＝ (φcosα−ψsinα)dzds
＝ (φcosα−ψsinα)ds
↓cosαds＝dy，sinαds＝−dx を用いて (ds⊥n )
＝ (φdy＋ψdx)
すなわち，
∂φ − ∂ψ dxdy＝ (ψdx ＋φdy) ∂x ∂y
ここで，DをSと改めれば定理を得ます。
［１］ グリーンの定理の幾何学的な意味を考えるため，グリーン定理，
∂φ − ∂ψ dxdy ＝ (ψdx＋φdy) ∂x ∂y
において，φ(x,y)＝x，ψ＝(x,y)＝0
とおくと，
１ dxdy ＝ xdy
今度は，φ(x,y)＝0，ψ(x,y)＝y とおくと，
１ dxdy ＝− ydx
この２式の左辺の面積分の範囲はいずれも右図の面積 S にとります。
すると，右辺の線積分はそれぞれ右図を参考にして，
[A] xdy＝ xupdy＋ xbmdy
＝(S＋S)＋(−S)＝S
および，
[B] − ydx＝− ybmdx− yupdx
＝−S'−(−S−S')＝S
となります。 結局，閉曲線Cで囲まれた面積Sを求める上記２通りの方法が ”同じだよ” と示していることがわかります。
