B1 回転座標系とコリオリの力
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［１］　直交座標系 Σ を正方向へ θ 回転した座標系を Σ'とします。平面上の点P のそれぞれの座標系での成分が，

Σ　静止座標系で　　r ＝		x
		y

Σ' 回転座標系で　　R ＝		X
		Y

とすると，正方向へのθ回転行列をP(θ)を用いて，r ＝P(θ)R　，(R ＝P(-θ)r )となります。成分では，

x ＝ cosθ -sinθ X y sinθ cosθ Y

もし，時間t とともに座標系Σ' がΣに対して角測度ωで回転しているとすると，θ＝ωt として，

	x		＝		cosωt	-sinωt			X		････　[*]
	y				sinωt	cosωt			Y

［２］　時間 t で一回微分すると

dx dt

＝ω

-sinωt

-cosωt

X

＋

cosωt

-sinωt

dX dt

dy dt

cosωt

-sinωt

Y

sinωt

cosωt

dY dt

もう一回微分すると，

d2x dt2

＝ω2

-cosωt

sinωt

X

＋2ω

-sinωt

-cosωt

dX dt

＋

cosωt

-sinωt

d2X dt2

d2y dt2

-sinωt

-cosωt

Y

cosωt

-sinωt

dY dt

sinωt

cosωt

d2Y dt2

整理すると，

	d2x dt2		＝		cosωt	-sinωt			-ω2X−2ω dY ＋ d2X dt dt2		←少し工夫していますよ，注意！
	d2y dt2				sinωt	cosωt			-ω2Y＋2ω dX ＋ d2Y dt dt2

［３］　この両辺に質量として m をかけ，ニュートンの運動方程式 ( F＝mx'' ) を思い起こせば，左辺は，

	m･ d2x dt2		＝		fx
	m･ d2y dt2				fy

つまり，「静止座標系Σにおける力 f の各座標成分」と見ることができます。 一方，右辺の列ベクトルを，

	−mω2X−2mω dY ＋m d2X dt dt2		＝		FX
	−mω2Y＋2mω dX ＋m d2Y dt dt2				FY

とおけば，これを「回転座標系から見た力F の各座標成分」とみなすことができます。なぜならば，回転行列を用いて，

	fx		＝		cosωｔ	-sinωｔ			FX
	fy				sinωｔ	cosωｔ			FY

と表記できるからです。(↑　回転する座標系間の座標成分の変換式[*]を参照して見てください。)

［４］　ここで力が 0 である場合 ( f_x＝f_y＝F_X＝F_Y＝0 ) を考察します。そのとき，運動方程式は各座標系で，

		0		＝		m d2x dt2		［静止座標系］
		0				m d2y dt2

	mω2X		＋		2mω dY dt		＝		m d2X dt2		［回転座標系］・・・・[**]
	mω2Y				−2mω dX dt				m d2Y dt2
遠心力				コリオリの力

となります。これを解くと，静止系ではよく知られているように等速直線運動 (x'＝定数，y'＝定数) を表す解が得られます。ところが，回転座標系で解くべき方程式は１回微分の項を含む複雑な２階微分方程式であり，一般には複雑な加速度運動が予想されます。

　　[**]のように書いた回転座標系の運動方程式の左辺が実在の力(重力，静電引力など)が存在しないもかかわらず 0 とならず，回転座標系では質点に加速度が生じているのです。この加速度を生じさせる見かけの力はふつう２つに分解して，

[**]　の第１項を遠心力，第２項をコリオリの力

と呼びます。

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