１　PL多様体の定義
f-denshi.com   ［目次へ］　最終更新日：23/07/17　校正中
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PL多様体のPLとは，piecewise linear (区分的に線形)　の頭文字をとったものです。前ページまでの多様体は微分可能な角のない滑らかな図形をイメージした議論でしたが，このページからは多面体のような微分できない角のある図形のトポロジーについて解説していきます。

１，単体

［１］

R³ における直線，平面 などを拡張して，ｎ次元ユークリッド空間 Rⁿ 上の直線，平面 などについて定義します。

以下，ことわりなく，

点　　　　p_k＝(x₁，x₂，･･･，x_n)
実数　　a_k，c_k，s_k，t_k　　( k＝1,2,…,r　；　r≦n　)

とします。

基本的な図形の表した方です。

２点通る直線　

p₀p₁＝{t₀p₀＋t₁p₁｜t₀＋t₁＝1}

線分　　(１単体)

|p₀p₁|＝{t₀p₀＋t₁p₁｜t₀＋t₁＝1，t₀≧0，t₁≧0}

R³ の中であれば高校生レベルの話ですが，ここでは，p₀，p₁は n次元ユークリッド空間の点と考えます。

[２]

３点通る平面　

p₀p₁p₂ ＝{t₀p₀＋t₁p₁＋t₂p₂｜t₀＋t₁＋t₂＝1}

三角形　　(２単体)

|p₀p₁p₂|＝{t₀p₀＋t₁p₁＋t₂p₂｜t₀＋t₁＋t₂＝1，t₀≧0，t₁≧0，t₂≧0}

ただし，3点 p₀，p₁，p₂ は同一直線上にあってはいけません。　その条件は，

a0p0＋a1p1＋a2p2＝0，　a0＋a1＋a2＝0 ならば，　a0＝a1＝a2＝0　である。

この条件を満たすとき　p₀，p₁，p₂　は一般の位置にあるといいます。

ここ条件は言い換えると，

　　　ベクトル(p₁−p₀)，(p₂−p₀)が1次独立　

⇔　c₁(p₁−p₀)＋c₂(p₂−p₀)＝0　　⇒　c₁＝c₂＝0
⇔　(c₁＋c₂)p₀−c₁p₁−c₂p₂＝0　⇒　c₁＝c₂＝0
⇔　a₀p₀＋a₁p₁＋a₂p₂＝0， a₀＋a₁＋a₂＝0　⇒　　a₀＝a₁＝a₂＝0

[３]

４点通る3次元空間　

p₀p₁p₂p₃ ＝{ t₀p₀＋t₁p₁＋t₂p₂＋t₃p₃｜t₀＋t₁＋t₂＋t₃＝1 }

四面体　(３単体)

　|p₀p₁p₂p₃|＝{ t₀p₀＋t₁p₁＋t₂p₂＋t₃p₃｜t₀＋t₁＋t₂＋t₃＝1，t₀≧0，t₁≧0，t₂≧0，t₃≧0 }

ただし，４点は同一平面上にあってはいけません。その条件は，平面のときと同様に考えて，

a0p0＋a1p1＋a2p2＋a3p3＝0，　a0＋a1＋a2＋a3＝0 ならば，　a0＝a1＝a2＝a3＝0　である。

この条件をみたすとき，p₀，p₁，p₂，p₃は一般の位置にあるといいます。

［４］

さらに，ｎ次元ユークリッド空間の５点以上の点を通る図形を考えることもできます。

この用語を用いて，

m単体σの次元が m であることを明示したいときは，σ^m　と表します。

例

点　　　　０次元単体　(0単体)　　σ⁰＝|p₀|
線分　　 １次元単体　(１単体)　　σ¹＝|p₀p₁|
三角形　２次元単体　(２単体)　　σ²＝|p₀p₁p₂|
四面体　3次元単体　(３単体)　　σ³＝|p₀p₁p₂p₃|
　↑中身のある

[５]

0辺単体を頂点，１辺単体を辺，２辺単体を面，３単体を体ということもあります。　

例

３単体の３辺単体は，|p₀p₁p₂p₃|　　(３単体自身)
３単体の２辺単体は，|p₁p₂p₃|，|p₀p₂p₃|，|p₀p₁p₃|，|p₀p₁p₂|
３単体の１辺単体は，|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₁p₂|，|p₁p₃|，|p₂p₃|
３単体の０辺単体は，|p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₃|

定義から容易に分かるように，ｍ単体の ｒ辺単体の個数は，

m+1Cr+1＝	(m＋1)！
	(r＋1)！(m−r)！

で与えられます。

２．　(単体的) 複体

[１]

例

σ＝|p₀p₁p₂|ならば，

K(σ)＝{|p₀p₁p₂|，|p₁p₂|，|p₀p₂|，|p₀p₁|，|p₀|，|p₁|，|p₂| }

となる。

例

下図は，K(σ³) U K(τ²) U K(υ)　 からなる一つの単体複体 K

K＝{ |p₀p₁p₂p₃|，
       |p₁p₂p₃|，|p₀p₂p₃|，|p₀p₁p₃|，|p₀p₁p₂|，|p₂p₃p₄|，
　　　|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₁p₂|，|p₁p₃|，|p₂p₃|，|p₂p₄|，|p₃p₄|，|p₄p₅|，
　    |p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₃|，|p₄|，|p₅|  }

特に，

σ³ ∩τ²＝|p₂p₃| ＜ σ³ ，τ²
τ²∩υ＝|p₄| ＜ τ²，υ

が成り立っていることに注意。

例　　複体ではない例

上段は複体ではないが，
下段のように三角形(２単体)を組み合わせて考えれば複体である。

［２］

部分複体

複体Kの部分集合が複体となるとき，その部分集合を，Kの部分複体という。

特に，複体K(σ)からσを除いた，

K(∂σ)＝K(σ)−{σ}　

は K(σ)の部分複体となる。

例

σ＝ |p₀p₁p₂p₃|  (３単体) ならば，

K(∂σ)＝{  |p₁p₂p₃|，|p₀p₂p₃|，|p₀p₁p₃|，|p₀p₁p₂|，
　　　　　　　|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₁p₂|，|p₁p₃|，|p₂p₃|，
　  　　　　  |p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₃|  }

となり，四面体の表面部分からなる複体となっている。

[３]

特に，dimK＝m　ならば，

K^(m)＝K，　　

σがm単体であれば，

K(σ)^(m-1)＝K(∂σ)

が成り立っている。

例

上の複体K であれば，　dimK＝3　
1骨格は，K⁽¹⁾＝{ |p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₁p₂|，|p₁p₃|，|p₂p₃|，|p₂p₄|，|p₃p₄|，|p₄p₅|，
　    |p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₃|，|p₄|，|p₅|  }

[４]

有限複体・無限複体

有限個の単体から構成される複体を有限複体という。有限複体でない複体を無限複体という。

[５]

逆に多面体を単体の集合に分割して，対応する複体を作ることもできます。そして，任意の多面体 X に対して，ある単体的複体 K が存在して，X＝｜K｜と表せることが示されます。　そのような単体的複体 K を多面体 X の 単体分割　といいます。詳しくは，後ほど　”胞体の細分”　のところで再び議論します。

例

特に単体 σ＝|p₀p₁p₂| ならば,

| K(σ) | ＝ σ＝ |p₀p₁p₂|

である。

[６]

多面体　|K(∂σ)| 　をσの境界といい，∂σと表す。

多面体 |K(σ^m)| ＝σ^m は D^m と位相同型であるが，図形 |K(∂σ^m)|＝∂σ^m は S^m-1と位相同型である。

上図は m＝2 の場合の複体 K と多面体 |K| 〜D2と境界 |∂K|〜S1 。

|K(σ^m)|から |K(∂σ^m)|の除いた部分は内部といい，Int(|K(σ^m)|)＝Intσ^m と表しますが，厳密な定義は後ほど胞体の説明 [#] のところで示します。

[７]

Rⁿ の図形 X に対して，

X上の任意の点 x と X上にない点 p₀ を両端とする線分 |p₀x| が x 以外の点で交わらないとき，p₀ と X は錐構成可能な位置にある。

という。p₀ と X が錐構成可能な位置にあるとき，線分 | p₀x | 全体の集合，

p0 *X ≡ U | p0x｜  x∈X

を 「 p₀ を頂点，X を底とする錐 」 という。

特に上記の図形 X が複体 K からできる多面体 | K | であるとき，錐複体を次のように定義する。

例

頂点　　{|p₀|}
複体　　K＝{  |p₁p₂p₃|，|p₁p₂|，|p₁p₃|，|p₂p₃|，|p₃p₄|，|p₁|，|p₂|，|p₃|，|p₄|  }
底　　　　|p₁p₂p₃| U |p₃p₄|
錐複体　p₀ *K　
           ≡　K ∪｛ |p₀p₁p₂p₃|，|p₀p₁p₂|，|p₀p₁p₃|，|p₀p₂p₃|，|p₀p₃p₄|，|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₀p₄| } ∪ { |p₀| }

[８]

このとき，任意のτに対して，Intτ⊂Intσ　となるσはただ一つ定まる。

例

L₁，および，L₂ はどちらも K の細分となっている。

L₁について，

Int |p₁p₅| ⊂ Int |p₁p₄|
Int|p₀p₁p₅|⊂Int|p₀p₁p₄|　　など

L₂について，

Int |p₁p₆p₇| ⊂ Int |p₁p₃p₄|   など

[９]

重心細分

K^(r) の重心細分を (K^(r))’とすると， p_σ をσの重心とすると，

(K(r))’＝	U	pσ*K(∂σ)’
	σ∈K dimσ= r

と表せる細分を r＝0 から dim K まで繰り返す。

例　　３単体  (中身の詰まった四面体 ）

四面体の重心細分 面，体の分割結果は見やすいように一部分だけ示している。

	四面体	頂点	線分	面	体	χ
１	分割前	4	6	4	1	1
２	線分の分割	10	12	4	1	1
３	三角形の分割	14	36	24	1	1
４	四面体の分割	15	50	60	24	1

ここで，χは単体複体のオイラー標数です。

オイラー標数については後で説明します。　⇒　[#]

ここでは分割手順の説明をしておきます。

手順１　K⁽⁰⁾’の分割　＝　不変

手順２　K⁽¹⁾’の分割　＝　辺を２分する

点の数　　　＋６（辺の数）
線分の数 　＋６（辺数）
面の数　　　　不変
体の数　　　　不変

手順3　K⁽²⁾’の分割　＝　三角形の重心と各点を直線で繋ぐ

点の数　　　＋４（面の数）
線分の数　 ＋２４（1つの面内の頂点の数×面数＝6×4）
面の数　　　＝２４（（1つの面内の三角形の数×面数＝6×4）
体の数　　　　不変

手順４　K⁽³⁾’の分割　＝　四面体の重心から各頂点を直線で繋ぐ

点の数　　 ＋１（四面体の重心の数）
線分の数　＋１４（四面体の（頂点数＋辺数＋面数＝4＋6＋4）
面の数　　 ＋３６（四面体の重心と１面の頂点を含む三角形の数
　　　　　　　　＋四面体の重心と１面の辺を含む三角形の数÷2）×面数
　　　　　　　　＝(6＋6÷2)×4＝36）
体の数 　　＝２４（四面体の１面の三角形数×面数＝6×4＝24

３．胞体的複体

[１]

単体の条件を緩めた図形，すなわち，凸多角形，凸多面体のようにいくつかの半空間の共通部分として表される有界な図形を胞体といいます。厳密な定義は以下のとおり。

明らかに，

IntC ∪∂C ＝C　かつ，IntC ∩ ∂C ＝φ

例

３単体は胞体である。

p₀，p₁，p₂，p₃　を通る3次元空間 Π，

p ∈ t₀p₀＋t₁p₁＋t₂p₂＋t₃p₃　(t₀＋t₁＋t₂＋t₃＝1)

上の線形関数　f_k：Π → R を

f_k(p)＝t_k  ( k＝0,1,2,3 )

と定義すると，胞体Cは，　

C＝ {p∈Π｜f_k(p)≧0　 ， k＝0,1,2,3 }
　＝{ t₀p₀＋t₁p₁＋t₂p₂＋t₃p₃｜t₀＋t₁＋t₂＋t₃＝1，t_k ≧0 ( k＝0,1,2,3 )}
　＝|p₀p₁p₂p₃|

であり，３単体 [#] でもある。

面については以下のものがある。

f_k(p)＝0　 ( k＝0,1,2,3 )　は，4つの面＝２辺単体 からなり，境界を表す。

f_j(p)＝f_k(p)＝0　( j，k＝0,1,2,3 ；j≠k) は６つの辺＝１辺単体。

f_i(p)＝f_j(p)＝f_k(p)＝0　i， j，k＝0,1,2,3 ；j≠i，j≠k，i≠k) は4つの点＝０辺単体。

[２]

また，次が成り立つ。

[３]

胞体的複体

[４]

ほぼ自明。

例

胞体的複体（X=直方体）の単体分割の例　(重心細分ではない例)

[５]

さらに，

例

要するに，K₁とK₂を重ね合わせて，胞体となっている個所を単体に分割すれば，共通細分が得られます。

[６]

［７］

例 はすでに，X＝四面体 [#]，直方体 [#]の場合で示してあります。

[８]

この証明は重要だがここでは省略して別の機会に紹介する。

４．PL（piecewise linear）多様体

[１]　先ず，単体から単体への線形写像について説明します。

単体σ

　|p₀p₁…p_m|＝{ p＝t₀p₀＋t₁p₁＋…＋t_mp_m｜
　　　　　　　　　　　　　t₀＋t₁＋…＋t_m＝1，t₀≧0，t₁≧0，…，t_m≧0 }

単体τ

　|q₀q₁…q_n|＝{ q＝s₀q₀＋s₁q₁＋…＋s_nq_n｜
　　　　　　　　　　　　　　s₀＋s₁＋…＋s_n＝1，s₀≧0，s₁≧0，…，s_n≧0 }

として，σからτへの写像 ｆ が，

f(p)＝ｆ(t₀p₀＋t₁p₁＋…＋t_mp_m)
　　＝t₀ｆ(p₀)＋t₁ｆ(p₁)＋…＋t_mｆ(p_m)

を満たすとき，ｆ を線形写像といいます。

このとき，

(1)　ｆ は連続写像である
(2)　σの任意の辺単体ρに制限した f |ρも連続な線形写像である。

ことは容易に確かめられます。

[２]

多面体の単体複体にこの線形写像を適用して次のようにPL写像を定義します。

また，PL同型写像 f は連続写像でもあるので，同相写像 [#] でもある。

例１　　 PL写像 ｆ ：　|X| (正方形)　→　|Y| (四角錐)　

f(|p₀p₁p₂|)⊂|q₀q₁q₂|
f(|p₀p₄|)⊂|q₀q₄|

などと確かめることができる。

［３］

例２　 PL同型写像写像

ｆ　：　X　→　Y　
g　：　Y　→　Z　

合成写像 fοg　も PL同型写像

|X|=三角形，|Y|=四角形，|Z|=五角形 は互いにPL同相である。

三角形(２単体)にPL同型な図形を２次元PL円板といい，その境界を1次元球面といいます。

一般化して，

これらは，位相空間の場合のm次元円板 D^m，m-1次元球面 S^m-1に対応しており，

Δ^m　　⇔ 　D^m
Σ^m-1　⇔　S^m-1

となりますが，厳密に使い分けずに表記されることもあります。

[４]

例　

|Star(x；K)| は彩色部分
|Link(x；K)| は赤色で示した。

Star(x；K)＝{ |p₀p₁p₂p₃|，|p₁p₂p₃|，|p₀p₂p₃|，|p₀p₁p₃|，|p₀p₁p₂|，|p₂p₃p₄|，
　　　　　　　　|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₁p₂|，|p₁p₃|，|p₂p₃|，|p₂p₄|，|p₃p₄|，
　  　　　　　　 |p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₃|，|p₄|  }

Link(x；K)＝{　|p₀p₁p₂|，|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₁p₂|，|p₂p₄|，|p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₄|  }

[５]

例

X＝|K|＝四面体表面は2次元PL閉多様体である。

|Link(x；K)| は赤色で示したようにいずれの場合もΣ¹である。

A　x が頂点p₁ のとき

Star(x；K)＝{  |p₁p₂p₃|，|p₀p₁p₃|，|p₀p₁p₂|，
　　　　　　　　|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₁p₂|，|p₁p₃|，|p₂p₃|，
　  　　　　　  |p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₃|  }

Link(x；K)＝{ |p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₂p₃|，|p₀|，|p₂|，|p₃|  }

B　x が三角形 |p₀p₂p₃| の内点のとき

Star(x；K)＝{ |p₀p₂p₃|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₂p₃|，|p₀|，|p₂|，|p₃|  }

Link(x；K)＝{　|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₂p₃|，|p₀|，|p₂|，|p₃|  }

C　x が線分 |p₀p₃| の内点のとき

Star(x；K)＝{ |p₀p₂p₃|，|p₀p₁p₃|，|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₀p₃|，|p₁p₃|，|p₂p₃|，
　  　　　　　　 |p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₃|  }

Link(x；K)＝{　|p₀p₁|，|p₀p₂|，|p₂p₃|，|p₁p₃|，|p₀|，|p₁|，|p₂|，|p₃|  }

この2次PL閉多様体が，位相多様体の定義 [#] を満たしていることは，

任意の点xに対して，

U＝|Star(x；K)|−|Link(x；K)|

考えると U が開集合であることから確認できます。

一般的にPL 多様体が位相多様体であることは正しいですが，逆に任意の位相多様体に同型なPL多様体が存在するかと言えば，高次元において成立しないことが分かっています。

[６]

境界のないPL多様体，境界のあるPL多様体を合わせてPL 多様体とも言います。

例

X＝|σ³|＝三単体 (中身のある四面体) は境界のある３次元PL多様体である。

全てのケースで，

Star(x；σ³)＝σ³ (3単体)　

Link(x；σ³)＝着色部分

A，B，Cのケースでは，

|Link(x；σ³)|　〜2次元円板　Δ²

Dのケースでは，

|Link(x；σ³)|＝|∂σ³|＝四面体表面 〜 2次元球面　Σ²

[７]

例１

Δ¹×Δ¹は2次元PL多様体　

Σ¹×Σ¹は２次元PL多様体　(PLトーラス)

例２

X＝Δ¹（赤線分)，Y＝Δ¹(青線分)の場合

上図より公式(3)が確かめられる。

例３

Δ²×Σ¹ は３次元PL多様体（中身の詰まったPLトーラス）であり，その境界は，

∂(Δ²×Σ¹)＝∂Δ²×Σ¹＝Σ¹×Σ¹

であり，PLトーラスである。

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