104　演算子法
y-denshi.com  更新日：　04/02/19

［１］　y(x)を未知関数とする微分方程式：

y (n)(x) ＝ g(x)　　             ･････     　(１)

演算子法で解く方法を紹介します。まず，微分演算子 D を次のように定義します。

D ≡	d	，ただし，　　Dy ＝	dy
	dx		dx

D は掛け合わせることもできて，n 個の積はn 階微分を意味して，

を意味することとします。　すると，微分方程式(1)は，

Dⁿy (x)＝ g(x)　　　　　　　　　　　　･････　[*]

と書きなおすことができます。

［２］　また，この演算子に関して次のような公式が成り立ちます。

証明は，(１)の場合だけ述べると，もし，n＝k で(１)が成り立つならば，　

　D^k+1｛e^rx･g(x)｝＝D［D^k ｛e^rx･g(x)｝］ ＝D［e^rx(D＋r )^kg (x)］
　　　　　＝D［e^rx] ･［(D＋r )^kg (x)］ ＋e^rxD［(D＋r )^kg (x)］
           ＝r e^rx(D＋r )^kg (x)＋e^rxD(D＋r )^kg (x)
　　　　　＝ e^rx(D＋r )^k+1g (x)　⇒　n＝k＋1 でも成立。

なので，数学的帰納法で証明できます。他も簡単に証明できるので省略します。この公式はすぐあとで使います。

［３］　さて，今度は Dⁿ の逆演算 (＝n重積分 ) に相当する　D^-n　を定義しましょう。ただし，積分は１回積分するごとに積分定数(不定項)がでてくるので，一意性をもたせるためにちょっとした工夫が必要です。

　まず，解析学入門で学んだ２種類のテーラー展開 [#]，[#]を思い出しましょう。すなわち，
       (ここでは解析入門からは f → y と記号を変えています。)

＋		y (n)(θ)	(x−θ)n-1dθ
		(n-1)！

＋			･･･		y(n)(xn)dxn･･･dx2dx1

この2式を注意深く眺めると，もし，

y(a)＝y'(a)＝･･･＝y (n-1)(a)＝0　･･･　[**]

であるならば，(微分方程式 [*] に初期条件[#]を設定したことになる。)

y(x) ＝		･･･		y(n)(xn)dxn･･･dx1 ＝			y (n)(θ)	(x−θ)n-1dθ
							(n-1)！

となります。ここで，y(x) が微分方程式 [*] の解とすると，y ⁽ⁿ⁾(x) ＝ g(x) なので，上式は，

y(x) ＝ ･･･  g(xn)dxn･･･dx1＝ g(θ) (x−θ)n-1dθ (n-1)！

となって，微分方程式の(１)の形式解 (特解 ) を与えています！

［４］　これらは微分方程式[*]の特解の２通りの表現です。まとめると，

［５］　これ以後，このｇ(x)の n重積分について D^-ng(x) と書くことにしましょう。すなわち，

D-ng(x) ≡ ･･･  g(xn)dxn･･･dx1

と定義します。すると，先の一般解は，

と書くことになります。

一方，n階積分して現れるn個の任意定数はn個の条件式[**]を用いれば，一意的に定めることが可能です。
いま，[*] のDⁿy (x)＝ g(x)　の左から D^-n を形式的にかけると，

D^-n Dⁿy (x)＝ D^-n g(x) ＝y(x)− P_n-1(x)

と書けることは注目に値します。つまり，積  D^-n Dⁿ は演算子としてはy(x)に何も作用しない(またはy(x)に1をかける)恒等演算子とみなすことができます。この D^-n ，Dⁿ　という記号はとてもうまく定義されていることがわかりますね。

具体例を見ておきましょう。

［６］　今度は，微分方程式

(D−r)ny (x)＝ h(x)　　　       ･････     　(２)

について考えましょう。まず，

y(x)＝ e^rx･z(x)

と置いて，これを (２)，および，条件式[**]に代入すると，(公式(１)を使って)

(D−r)ⁿ e^rx･z(x)＝ e^rx･(D−r＋r)ⁿz(x)＝h(x)
　　⇔
Dⁿz(x) ＝ e^-rx･h(x)

および，

　z(a)＝z'(a)＝･･･＝z ^(n-1)(a)＝0

が得られます。これは，先の微分方程式(１)で，y(x)→z(x)，g(x)→e^-rx･h(x) としたものに他なりません。よって，

z(x)＝D^-ne^-rx･h(x) ＋ P_n-1(x)　
　　⇔　
y(x)＝ e^rx･z(x)＝e^rx･D^-n｛e^-rx･h(x)｝ ＋ e^rx･P_n-1(x)

が解となります。

結局，

［７］　特に，h(x)＝0　　　

(D−r)ⁿy (x)＝ 0　　　( ＝同次方程式 )

の解は，

e^rx･P_n-1(x)＝e^rx(c₀＋c₁x＋････＋c_n-1x^n-1)

となります。　これが前章の最後の問題[#]のスマートな解法となっています。

［８］　今度は微分演算子D の n次の多項式を P(D) として，微分方程式，

の解法を考えましょう。まず，各因子  (D−r_j)^k_j  は互いにその順序を変えることができるので，微分方程式，

　(D−r_j)^k_j y(x)＝ 0　，　　j ＝ 1，2，････，m　　････　[***]

のm個の解はすべて(３)の解にもなります。　[***]　の解は［７］で求めたように，任意の(k_j−1)次の多項式P_^kj-1(x)を用いて，

e^r_jx･P_^kj-1(x)

であり，任意定数をk_j個含んでいます。　したがって，(３)の解として，

y(x)＝e^r₁x･P_^k1-1(x)＋e^r₂x･P_^k2-1(x)＋ ････ ＋e^r_mx･P_^km-1(x)

をあげることができます(重ねあわせの原理)。ここで，任意定数の数は合計で，k₁＋ ････＋k_m ＝ n 個 なので，これはn 階微分方程式である(３)の一般解になっています。

以下準備中⇒Appendixで，

P(D)y(x)＝(D−r₁)^k₁(D−r₂)^k₂  ･･･  (D−r_m)^k_m y(x)＝ h(x)　･･･(４)

一般解は(３)で求まっているので，特解を一つ求めればいいのです[#]。

1	＝				bij
P(D)					(D−ri)j

　　⇒

y ＝				erjx		bij･h(θ)	(x−θ)j-1e-rjxdθ
						(ｊ-1)！