107　 階数引き下げ
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１．階数の引き下げ

典型的なテクニック

(１)　F(y''，y'，x ) ＝ 0　
　　　　　　　　　　　　　⇒　y'＝ u　とおく　→　F(u'，u，x)

(２)　F(y''，y'，y )＝0　
　　　　　　　　　　　　　⇒　 y'＝ u　とおく　→ F(u'，u ，(du/dy)・u)

(３)　F(αy''，αy'，αy，x　)＝αrF(y''，y'，y，x) ＝ 0　(同次式)
　　　　　　　　　　　　　⇒　αF(y''，y'，y，x) とおく　→F( u'＋u2，u，1，x)

(４)　F(x2y''，xy'，y)＝0　　(x の同次式)
　　　　　　　　　　　　　⇒　x＝ｅt とおく →　(２)に帰着

具体的例をあげておきます。

(１)  xy''＋y'＝x

y'＝u　とおくと，　y''＝u' なので，

xu'＋u ＝ x　　⇔　(ux)'＝ x

両辺積分して，

ux ＝ x2/2＋C  ⇔　ｄｙ/dx＝u＝x/2＋C/x　　(C：任意定数)

もう一回両辺積分して，

y＝x2/4＋Clog｜x｜＋C'　　　　　　(C'：任意定数)
(２)  yy''＋ｙ'2＝1

y'＝u とおくと，

yu du ＋u2 ＝ 1　⇔  　 u du 　＋ dy  ＝0
dy u2−1 y
⇔　　log｜u2−1｜1/2　＋　log｜y｜＋C　＝　0
⇔　　(u2−1)y2＝C1　　　　

よって，

u＝ dy ＝±(C1/y2＋1)1/2＝±(C1＋y2)1/2/y
dx
⇔　　　±y(C1＋y2)-1/2dy　＝dx
(C1＋y2)1/2　＝ ±(x ＋ C2)　

⇔　　C1＋y2　＝ (x ＋ C2)2
(３) yy''−ｙ'2−2y2＝0

y＝eu　とおくと，　y'＝euu'，　y''＝eu｛u'2＋u''｝　なので，これを代入して，

eu･eu｛u'2＋u''｝−(euu')2−2(eu)2 ＝ 0

(eu)2 で割ると，

｛u'2＋u''｝−u'2−2 ＝ 0   ⇔　u'' ＝ 2  
⇔　u'＝2x＋C1　
⇔  u＝　x2＋C1ｘ＋C2

よって，

y ＝ exp( x2＋C1ｘ＋C2 )
(４)　x2y''＋xy'＋y ＝ 0

x＝eu　とおくと，
　　　　　(du/dx)＝e-u， y'＝(dy/du)・(du/dx)＝ e-uy'，
        y''＝ -e-u(du/dx)y'＋e-uy''(du/dx)＝e-2u(y''−y')
ただし，

y'＝ dy ，　y''＝ d2y 　　さらに，y＝y(u)
du du2

これらを代入すると，

(eu)2e-2u(y''−y')＋eu・e-uy'＋ｙ ＝ y''＋y ＝ 0

この一般解は，

y ＝ C1sin( u ＋ C2 ) 　⇔　y ＝ C1sin( log x ＋ C2 )

以上，２階微分方程式を例に挙げていますが，高階微分方程式も同様な方法で階数の引き下げが可能です。

［追加］

線形微分方程式

y(n)＋an-1(x)y(n-1)＋an-2(x)y(n-2)＋･･･＋a1(x)y'＋a0(x)y ＝ f(x)

の場合は，その同次方程式，

y(n)＋an-1(x)y(n-1)＋an-2(x)y(n-2)＋･･･＋a1(x)y'＋a0(x)y ＝ 0

の解 y0(x)がわかっていれば，

y(x)＝z(x)y0(x)

とおき，z'(x) の(n-1)次の線形微分方程式に変換できます。

２階微分方程式の場合は，

y0(x)z''＋(2y0(x)＋y0(x))z'＝f(x)

となり，z'(x)の１階微分方程式です。


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