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110 スツルム - リウヴィル型微分方程式 | |
| f-denshi.com 更新日： 04/02/25 | ||
［１］ 次の形の2階微分演算子，
L ≡ P(x) d2 ＋Q(x) d ＋ R(x) dx2 dx
に対して，
M ≡ d2 P(x) − d Q(x) ＋ R(x) dx2 dx
を随伴微分演算子と言います。
［２］ いま，x の関数：p(x)，q(x)を含む微分演算子，
L ＝ d p(x) d ＋q(x) ＝ p(x) d2 ＋p'(x) d ＋q(x) ･････ [*] dx dx dx2 dx
を考えると，その随伴微分演算子は，
M ＝ d2 ｛p(x)｝− d ｛p'(x)｝＋q(x) dx2 dx
＝ d p'(x)＋p(x) d −p''(x)−p'(x) d ＋q(x) dx dx dx
＝p''(x)＋p'(x) d ＋p'(x) d ＋p(x) d2 −p''(x)−p'(x) d ＋q(x) dx dx dx2 dx
＝p(x) d2 ＋p'(x) d ＋q(x) dx2 dx
＝ L
となります。このように，M ＝ L が成り立つとき自己随伴演算子と言います。
［１］ 自己随伴演算子を L とするとき，
L u(x) ＝ λρ(x)u(x) ･･････ [**]
をスツリム - リウヴィル型微分方程式といい，これを同次境界条件：
(1) u(a)＝u(b)＝0 ［固定端境界条件］
(2) u'(a)＝u'(b)＝0 ［自由端境界条件］
(3) u(a)＝u(b)，かつ u'(a)＝u'(b) ［周期境界条件］
のいずれかで解くことをスツルム - リウヴィルの固有値問題といいます。
［２］ 具体例をあげておきましょう。
(A) ルジャンドルの微分方程式 ( -1≦x≦1，n ＝0，1，2，･･･ )
d (1−x2) d y(x)＋n(n＋1) y(x) ＝ 0 dx dx
(B) エルミートの微分方程式 ( -∞＜x＜∞，n ＝0，1，2，･･･ )
d exp(−x2) d y(x)＋2n exp(−x2) y(x) ＝ 0 dx dx
(C) ラゲールの微分方程式 ( 0≦x＜∞，n＝0，1，2，･･･ )
d x exp(−x) d y(x)＋n exp(−x ) y(x) ＝ 0 dx dx
(D) ベッセルの微分方程式 ( 0≦x＜∞，n＝0，1，2，･･･ )
d x d y(x)＋(x−n2/x) y(x) ＝ 0 dx dx
［３］ これらの微分方程式はλが特定の値をもつときのみ解が求まります。解をもつときのλを固有値，それに対応する解を固有関数と言います。また，異なる固有値λｊ，λk に対する固有関数をそれぞれuj(x)，uk(x)とするとき，次の積分，
Sjk ＝ ρ(x)uj(x)uk(x)dx
は同次境界条件の下では 0 となる特徴があり，この性質を固有関数の直交性といいます。これを示すには，[**] からすぐわかる，
uk(x) L uj(x) ＝ uk(x)λjρ(x)uj(x)
uj(x) L uk(x) ＝ uj(x)λkρ(x)uk(x)
を辺々引いて，区間［a，b］について積分すると，
｛uk(x)Luj(x) −uj(x)Luk(x) ｝dx ＝ (λj−λk)Sjk ･･･ [***]
となりますが，この左辺は [*] を用いて，
uk d p(x) duj ＋q(x)uj −uj d p(x) duk ＋q(x)uk dx dx dx dx dx
＝ uk｛p'u'j＋pu''j｝−uj｛p'u'k＋pu''k｝ dx
＝ p｛uku''j−uju''k｝＋p'｛uku'j−uju'k｝ dx
↓ ｛uku''j−uju''k｝＝ d ｛uku'j−uju'k｝ dx
＝ p(x)｛uk(x)u'j(x)−uj(x)u'k(x)｝
したがって，同次境界条件 (1)〜(3) いずれの下においても，最後の式は0となることがわかります。
すなわち，[***] はλj≠λk ならば，λj−λk で両辺を割って，Sjk ＝0 であることが分かります。
さらに各固有関数について，任意定数をかけて[#]，
ρ(x)uj(x)uｊ(x)dx ＝ 1 (j ＝0，1，2，･･･ )
としておけば，固有関数の直交性はδ関数を用いて，
Sjk ＝ ρ(x)uj(x)uk(x)dx ＝δjk
と表すことがができます。
(縮退の話はここでは省略します。)
