|
Appendix 1 １階微分方程式 II | |
| f-denshi.com 更新日： 執筆中 | ||
次のような，y'，y と任意関数を含む１階線形微分方程式 ，
y'＋p(x)y ＝ q(x)
は解析解を持つことが証明されており，一般解は，
y ＝ exp( -W ) q(x)exp( W )dx＋C ， W＝ p(x)dx
解法によって次のように分類するのが一般的でしょう。
y'＝p(x)/q(y)
→ q(y)dy＝p(x)dx ⇔ ∫q(y)dy ＝ ∫p(x)dx ＋ C
(１) y' ＝ f(y/x)
ここで， y/x ＝ u とおくと， (y'＝xu'＋u なので，)
xu'＝ f(u)−u ⇔ du/(f(u)−u)＝dx/x
| ⇔ |  |
du | ＝ log｜x｜＋C | ⇔ x ＝ C exp |  |
|
du |  |
| f(u)−u | f(u)−u |
もう一つ，
(２) y' ＝ f((ax＋by＋c)/(ｐx＋qy＋r))
aq−bp ＝ 0 のとき，
p/a ＝ q/b ＝ t ， u ＝ ax＋by とおくと，
x ＝
du
b f u ＋ c ＋ a tu ＋ r ＋ C
aq−bp ≠ 0 のとき，
連立方程式：ax＋by＋c＝0， ｐx＋qy＋r ＝ 0 の解α，βを用いて，X ＝ x−α，Y ＝ y−βとおくと，
log X ＝ du
＋ C， u ＝ Y X
f a ＋ bu − u p ＋ qu
［１］ 微分方程式，
y'＝−P(x,y)/Q(x,y)
または，
P(x,y)dx＋Q(x,y)dy ＝ 0 ･･･・・ [*]
について，P(x,y)，Q(x,y)の x，および y に関する偏導関数が連続であるとします。この左辺がある関数 u(x,y) の全微分 du に等しいならば， du＝0 の一般解は，
u(x,y)＝c ； c：任意定数
によって与えられることを利用して微分方程式[*]を解くことができます。このような形の微分方程式を完全微分形と言います。[*] が完全微分形である必要十分条件は，
∂P(x,y) ＝ ∂Q(x,y) ・・・・・・・・・ [**] ∂y ∂x
です。 ⇒ ［証明］
［２］ とりあえず，
u(x,y) ＝ x3y4＋2x2＋y3x ････ [***]
として，微分方程式を作ってみましょう。
∂u(x,y) ＝3x2y4＋4x＋y3 ＝P(x,y) ∂x
∂u(x,y) ＝4x3y3＋3y3x ＝Q(x,y) ∂y
もちろん，
∂P(x,y) ＝12x2y3＋3y2 ＝ ∂Q(x,y) ∂y ∂x
を確かめることもできます。したがって，[***] を特解にもつ完全微分方程式として，
(3x2y4＋4x＋y3)dx＋(4x3y3＋3y3x )dy＝ 0
が得られます。
このタイプの実際に微分方程式を解く場合は[**]を確認した後で，上ののプロセスを逆にたどります。
その他はAppendixで，
必要性
du(x,y) ＝ ∂u(x,y) dx ＋ ∂u(x,y) dy ＝ P(x,y)dx＋Q(x,y)dy ∂x ∂y
であるとすると，P(x,y)，Q(x,y)の x，および y に関する偏導関数が連続であることから，u(x,y)はC2級の関数[#]なので，uxy＝uyx ，したがって，
∂P(x,y) ＝ ∂2u(x,y) ＝ ∂2u(x,y) ＝ ∂Q(x,y) ⇔ [**] ∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x
十分性，
逆に[**]が成り立つとする，
F(x,y)＝∫P(x,y)dx
とおけば，
∂F(x,y) ＝P(x,y) ∂x
∂Q(x,y) ＝ ∂P(x,y) ＝ ∂2F(x,y) ∂x ∂y ∂x∂y
この式は，
0 ＝ ∂Q(x,y) ＝ ∂2F(x,y) ＝ ∂ Q(x,y)− ∂F(x,y) ∂x ∂x∂y ∂x ∂y
と書き直してみれば，( )内はy のみの関数であることがわかります。つまり，y のみの関数G(y)を用いて，
G(y) ＝ Q(x,y)− ∂F(x,y) ∂y
とおくことができます。これを y で積分して，
∫Q(x,y)dy ＝∫G(y)dy＋F(x,y)≡u(x,y)
とすれば，
du(x,y) ＝ ∂u(x,y) dx ＋ ∂u(x,y) dy ＝P(x,y)dx＋Q(x,y)dy ∂x ∂y
なぜならば，
∂u(x,y) ＝ ∂F(x,y) ＝P(x,y) ∂x ∂x
∂u(x,y) ＝Q(x,y) ∂ｙ
だからです。