Appendix 2　　１階微分方程式  II
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特殊な形の微分方程式のうちで有名ないくつをまとめておきましょう。

特殊形
ベルヌーイ	y'＋p(x)y＝q(x)yn　；［n≠0，1］
リッカチ	y'＋p(x)y2＋q(x)y＝r(x)
ラグランジュ ダランベール	y＝xf(y')＋g(y')
クレロー	y＝xy'＋g(y')

１．ベルヌーイ形　　　y'＋p(x)y＝q(x)yⁿ　；［n≠0，1］

u＝y^1-n　とおいて，

y1-n ＝ exp( W )		C−(n−1)		q(x)exp(−W )dx		，　　W＝(n−1)		p(x)dx

．リッカチ形 　y'＋p(x)y²＋q(x)y＝r(x)　　　　

( I ) 特解がいくつか知られているとき，

(a) １つの解 ｙ₁ がわかっているとき，y＝y1＋uとおい句と，⇒n＝2　のベルヌイ形

y ＝ y1 ＋	exp(-W )	，　W ＝		( 2p(x)y1＋q(x) )dx
	p(x)exp(-W )dx＋C

(b) ２つの解 ｙ₁，ｙ₂ がわかっているとき，

y ＝ y1 ＋	1
	1 ＋ C exp (W ) ｙ2−ｙ1

２．ラグランジュ/ダランベール     y ＝ x ｆ(y')＋g(y')

y'＝t　として，y ＝ x f(t)＋g(t)　を x で微分すると，

t ＝ f(t)＋xf'(t)	dt	＋g'(t)	dt
	dx		dx

⇔　t を x の関数とみなして，t − f(t)≠0　のとき，

dx	＝	f'(t)	x ＋	g'(t)
dt		t − f(t)		t − f(t)

この線形微分方程式は定数変化法で x ＝ h( t，c )のような形でもとまり，これと　y ＝ x f(t)＋g(t)　から t を消去すれば，元の微分方程式の解となる。

一方，t − f(t) ≡ 0，すなわち，　f(t)　⇒　y'　の場合は次もクレローの微分方程式となる。

３．クレロー　　　y＝xy'＋g(y')

y'＝t　として，y ＝ xt ＋ g(t) を x で微分すると，

( I )  x＋g'(t)＝0　と y ＝ xt＋g(t) とからtを消去した関数方程式は解の一つ。

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