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204 フーリエ積分定理 |
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具体的な使い方を追加すること
１．フーリエ積分定理
［１］ フーリエ変換と内容は同じなのですが、三角級数展開を用いた形式についても述べておきましょう。
もう一度、フーリエ三角係数、an、 bn を、
| an＝ |
1 |
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f(t)cos |
nπt |
dt、 bn＝ |
1 |
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f(t)sin |
nπt |
dt |
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| L |
L |
L |
L |
として、区間 ［-L、L ］ でf(x)のフーリエ級数展開を書き下ろすと、
| f(x)＝ a0/2 ＋ |
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｛ ancos |
nπx |
＋ bn sin |
nπx |
｝ |
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| L |
L |
↓ an、 bn 代入
| ＝ |
1 |
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f(t)dt ＋ |
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1 |
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f(t)｛ cos |
nπt |
・cos |
nπx |
＋ sin |
nπt |
・sin |
nπx |
｝ dt |
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| 2L |
L |
L |
L |
L |
L |
↓ 加法定理
| ＝ |
1 |
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f(t)dt ＋ |
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1 |
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f(t)・cos |
nπ |
(t−x)dt |
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| 2L |
L |
L |
ここで、f(x)が［−∞、∞］において定義されているとし、L → ∞ の極限を考えれば、上の第一項のf(t)積分が有限ならば、第一項全体は
0 に収束し、第２項は、
| f(x) ＝ |
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1 |
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f(t)・cos |
nπ |
(t−x)dt |
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| L |
L |
↓
| ＝ |
1 |
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|
π |
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f(t)・cos |
nπ |
(t−x)dt |
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|
| π |
L |
L |
↓ 上式は、刻み幅π/Lとしたリーマン積分の定義とおなじですね。
| ＝ |
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f(t)・cosλ(t−x)dt dλ |
この式をフーリエ積分定理と言います。
［２］
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フーリエ重積分定理
| f(x) ＝ |
1 |
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f(t)・cosλ(t−x)dtdλ |
|
| π |
(複素形式)
| f(x) ＝ |
1 |
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dλ |
f(t)・exp ［iλ(t−x)] dtdλ |
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| 2π |
フーリエ単積分定理
| f(x) ＝ |
1 |
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f(t)・ |
sinλ(t−x) |
dt |
|
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| π |
t−x |
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