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252 ラプラス変換のたたみ込み |
| f-denshi.com 更新日： 執筆中 | |
| 畳に込み(コンボリューション)の定理
定義： 関数 f(t)と g(t)が与えられたとき、合成積 f*g を、
と定義すると、それぞれの関数のラプラス変換を、 L［f(t)］＝F(s)、 L［g(t)］＝G(s) とすれば、 L［f*g(t)］＝F(s)G(s)が成り立つ。 |
証明：
L［f*g(t)］＝ e-st･f*g(t)dt
＝ e-st･ f(t−u)g(u)dudt
ここで、積分の順番を入れ換えれば、
＝ e-st･f(t−u)g(u)dt du
さらに、t-u ＝ w と置換すれば、( 変数 t → w に変換 )
＝ e-s(w＋u)･f(w)g(u)dw du
＝ e-sw･f(w)dw e-su･g(u)du ＝F(s)･G(s)
「たたみ込み」の考え方を，「離散的なたたみ込み」の例で説明します。
各時期に原発から放出された放射能が，
であることが分かっているとします。横軸は年代です。そして，放射能の半減期が h であるとする，すなわち，下図，
で放射能の減衰特性（応答関数）が与えられるとします。
このとき，t 年に存在する放射能は，下図の赤い囲みの中の放射能量を加算すればよいのですが，
その放射能P(t)の計算式は，
P(t)＝E（t−9h)G(9h)＋E(t−8h）G(8h)＋E（t−5h)G(5h)
＋E(t−4h)G(4h)＋E（t−3h)G(3h)＋E(t−h）G(h)
＝ E（t−nh）G(nh)
と表記することができます。( n>10のとき，E(tーnh)＝0 )
この離散的な関係式の連続的な極限を考えたものが，たたみ込み積分であって，
P (t) ＝ E ( t−τ)G（τ）dτ
と書き表すことができます。G（τ）は各イベント（事象）が起きてからの減衰を表すので，τ＜0 ではゼロの値をとる関数です。また，積分区間が-∞＜τ＜∞ となっていますが，これはフーリエ変換も利用できるように，形式的に積分範囲を広げただけでそれ以上の意味はありません。
