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	413 ラゲールの陪微分方程式
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［１］ ラゲール (Laguerre) の陪微分方程式とは、n ≧ 0 なる整数とし、

ラゲールの陪微分方程式　

　xy''(x)＋(m＋1－x)y' ＋ (n－m)y　＝　0 ； n ≧ 0 なる整数

の解、y ＝L_n^m(x) はラゲール陪多項式と呼ばれ、次式で与えられる。

L_n^m(x) ＝ d^m L_n(x) ＝ d^m e^x dⁿ ( xⁿ e^－x )

dx^m dx^m dxⁿ

　　　　　＝ x^-me^m dⁿ ( x^n+m e^-x ) 　[ロドリグの式]

n! dxⁿ

具体的な値は

L₀⁰(x) ＝ 1

L₁⁰(x) ＝ -x＋1　　　　　　　　　　L₁¹(x) ＝ -1　　

L₂⁰(x) ＝ x²－4x＋2　　　　　　　L₂¹(x) ＝ 2x－4　　　　　　　　L₂²(x) ＝ 2

L₃⁰(x) ＝ -x³＋9x²－18x＋6　　L₃¹(x) ＝ -3x²＋18x－18　　
L₃²(x) ＝ -6x＋18　　　　　　　　L₃³(x) ＝ -6

L₄⁰(x) ＝x⁴－16x³＋72x²－96x＋24　　L₄¹(x) ＝ 4x³－48x²＋144x－96　　
L₄²(x) ＝12x²－96x＋144　　　　L₄³(x) ＝24x －96　　　　　　L₄⁴(x) ＝24

L_n^m(x) ＝ (-1)^m+k (n!)² x^k　

k! (n-m-k)! (m+k)!

まず，ラゲールの微分方程式 [#] は，

　xy''(x)L_n(x)＋(1－x)y' ＋ ny　＝　0

x d² L_n(x)＋(1－x) d L_n(x)＋nL_n(x) ＝ 0

dx² dx

これをm回微分すれば，

x d^2+m L_n(x)＋(m＋1－x) d^m+1 L_n(x)＋(n－m) d^m L_n(x) ＝ 0

dx^2+m dx^m+1 dx^m

となります。ここで，

L_n^m(x)＝ d^m L_n(x)

dx^m

とすれば，L_n^m(x) がラゲールの陪微分方程式を満たすことが分かります。

具体的には

［２］

母関数

F(t、x) ≡ (-1)^m t^m exp -xt ＝ L_n^m(x) ･ tⁿ　　　･･･ [*]

(1－t)^m+1 1－t n！

(注意：　t^m　を右辺に移項して表すこともある。)

漸化式等

d L_n^m(x)　＝L_n^m+1(x)

dx

(n＋1－m) L_n+1^m(x) ＝ (n＋1)(2n－m＋1－x) L_n^m(x)－n²(n＋1) L_n-1^m(x)

x d ＋m－x L_n^m(x)　＝ (m－n－1)L_n^m-1(x)

dx

x d －n＋m L_n^m(x)　＝－n² L_n-1^m(x)

dx

x d －x＋n＋1 L_n^m(x)＝ 1－ m L_n+1^m(x)

dx n＋1

正規直交性

x^m･ exp(－x)･L_n^m(x)･L_h^m(x)dx ＝

0 　･･････ (h≠n)

(n！)³

(n－m)！

　　　･･････ (h＝n)

級数展開

加法公式