３　自由群と基本群
f-denshi.com  ［目次へ］　 最終更新日：23/11/02　加筆
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ときわ台学の「代数学入門」の第１部 群 を既読として解説します。

１．自由群

[１]　　自由群とは，群の定義を満足する以外は"元"どおしの間に条件が課せられていない群ということができます。

まず，群の定義を代数学入門から再掲載しておくと，

群の定義

集合Gに属する順序のついた任意の２つの元（a，b）を（←（a、b）と（b、a）とは識別可能と言う意味）、集合 G に属する一つの元 c に対応させる規則があるとき、集合 G に演算が定義されているといい、この対応：　（a，b）　→　c　を

a・b＝c 　

と書くことにします。この集合 G と演算 ・ が次の３つの条件を満たすとき、集合 G は演算 ・ について群をなすといい、群（G、・ ）　または簡単に 群G と書きます。　

ここで（２）における ｅ を単位元という。
また、（３）における b はa の逆元といい、a の逆元であることを強調するために、a^-1 とも書く。

［２］　　最も簡単なのは，単位元だけから生成される自明群 G＝{e} ですが，これは面白くないので，群が e の他に a≠e を含む群を考えてみます。

群の定義からその逆元 a^-1 も当然含まれることになります。さらに，a または a^-1 どおしの演算を繰り返した結果に結合法則を考慮すれば，

a，aa，aaa，・・・　　　　　　　　　　（aの個数＞a^-1の個数のとき）　
a^-1，a^-1a^-1，a^-1a^-1a^-1，・・・　　（a^-1の個数＞aの個数のとき）
e　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（a^-1の個数＝aの個数のとき）
（演算（積）記号 ・ を省略した）

がそのまま形で自由群G の元となっていなければなりません。　これらの元は，a を文字とする 語と呼ばれます。なお，語は　a … a　(←aがp個) は　a^p　のように書くこともあります。

この群の元として，aとa^-1が混じり合った語は含ませる必要はありません。なぜなら，aa^-1＝e，ex＝xe＝x　 (x＝aまたはa^-1) となるので，語に含まれる a か a^-1かどちらかその個数が少ない方は消し去ることができるからです。例えば，

a^-1aaa a^-1＝ (a^-1a)a(a a^-1) ＝ eae ＝ a

のように。このようにして ”消し去る操作” を簡約といいます。また，それ以上簡約することのできない語を既約な語といいます。既約な語だけを用いて，この自由群の元の集合は，

F(a)＝{e，a，aa，aaa，・・・，e，a^-1，a^-1a^-1，a^-1a^-1a^-1，・・・}

と書くことができます。これを生成元を a とする無限巡回群といいます。

容易に分かるように，F(a) は可換群であり，整数加群（Z,＋）と

a^p 　⇔　p∈Z　　f(p）＝a^p　（元の対応）
　　
･　　⇔　＋　　　　　(演算の対応）

と対応させれば，

m ＋ n　＝　(m+n)
↓　 ↓　　　　 ↓　f(m+n)＝a^m+n＝a^m・aⁿ＝f(m)＋f(n)
a^m・aⁿ　＝　 a^m+n

は全単射準同型写像なので，F(a) は整数加群と同型です。

F(a) 〜 Z　  整数加群

［３］　　自由群として文字が一つだけではなく，２つ，a，b を含む場合を考えることができます。

a，b を文字とする語の場合は aとa^-1とだけでなく，bとb^-1がとなり合わせの場合も簡約ができます。また，単位元 e は　a, b　どちらの生成元に対しても　ae＝a，be＝b　です。　a，b を文字とする自由群は　F(a,b)　と書きます。

［４］　　一般に n 個の生成元を含む自由群を考えることができます。その定義を示しておきます。

有限回の繰り返しの演算に対して結合法則が成り立つことは自明です。

［５］

任意の2つの自由群から新たに自由群を作り出すことを考えます。

例として，２つの可換群（加群） G＝F(a) 〜 Z，H＝F(b)〜Z　を考えます。m₁，m₂，･･･∈F(a)，n₁，n₂，･･･∈F(b)　とすれば，自由積　G*H　の元は形式的な和の記号＋を用いて，

･･･＋m_i＋n_j＋m_k＋n_l＋･･･　　有限個の和

のような形で，F(a) と F (b) に属する元が交互に並んた形式で表されます。

［６］　自由群は生成元を並べることで群を表すこと，すなわち群の表示とすることができますが，一般的な群の表示は生成元と生成元に課せられる条件を並べて群を表現することになります。　それを保証するのが次の定理です。

補足：
定理中の”正規部分群”の元を列挙すれば，{ x^-1h_kx　}，(k=1,2,…,m)，x∈F(a)　となるが，これを( h₁，h₂，･･･，h_m )という記号で表している。具体例を見た方が分かりやすいので，ここで分からなくても先へ読み進むべし。

［７］　具体例をみてみましょう。

例１

群G として，生成元がg，位数が6の巡回群 Z₆ [#] を考えてみます。生成元だけで表記すると，

Z₆ ＝ { e', g, gg, ggg, gggg, ggggg, }，　ただし，e'＝gggggg

となります。e' はこの群の単位元で，g^p の逆元は g^6-p です。ここで，自由群 F₁(a) から Z₆ への写像 f を a を g に対応させる写像とすると，すなわち，

f(a)＝g，f(aa)＝gg，…，f(aaaaa)＝ggggg，f(a^-1)＝g^-1，･･･　　

とすると，

f(aa)＝gg＝f(a)f(a)，　f(e)＝f(aa^-1)＝f(a)f(a^-1)＝gg^-1＝e'

などが確かめられて f は上への準同型写像と分かります。また，

Ker f ＝　f^-1(e')＝{ x^-1･a⁶･x｜x∈F(a) }　≡ (a⁶)

となっています。したがって，準同型定理より，

Z₆ 〜 F₁(a) / (a⁶)
　　＝ { e ，a，aa，aaa，aaaa，aaaaa }

であり，生成元と関係子を用いて，

＜g＞ 〜 ＜a｜a⁶＝e＞　

と表すことができます。

［８］

例２

3文字の対称群，

S₃＝{ e'，τ₁，τ₂，σ₁，σ₂，σ₃ }

を考えます。群表と元である置換を以下に示します。

*	e'	τ1	τ2	σ1	σ2	σ3
e'	e'	τ1	τ2	σ1	σ2	σ3
τ1	τ1	τ2	e'	σ2	σ3	σ1
τ2	τ2	e'	τ1	σ3	σ1	σ2
σ1	σ1	σ3	σ2	e'	τ2	τ1
σ2	σ2	σ1	σ3	τ1	e'	τ2
σ3	σ3	σ2	σ1	τ2	τ1	e'

e' =  1 2 3  1 2 3	τ1=  1 2 3  2 3 1	τ2 =  1 2 3  3 1 2
σ1 =  1 2 3  1 3 2	σ2 =  1 2 3  2 1 3	σ3 =  1 2 3  2 3 1

これらの積をいくつか抜き出すと，

σ₁σ₁＝σ₂σ₂＝e'
σ₁σ₂＝τ₂　
σ₂σ₁＝τ₁
σ₂σ₁σ₂＝σ₁σ₂σ₁＝σ₃

であるから，S₃の生成元として，σ₁，σ₂　を選べることが分かる。

S₃を生成元だけで表すと，

S₃＝{ e'，σ₂σ₁，σ₁σ₂，σ₁，σ₂，σ₁σ₂σ₁}

したがって，自由群 F(a,b) から S₃ への準同型写像 f として，

f(a)＝σ₁，f(b)＝σ₂

を定めて，Ker f として，

f(aa)＝σ₁σ₁＝e'
f(bb)＝σ₂σ₂＝e'

また，

σ₃σ₃＝(σ₁σ₂σ₁)( σ₂σ₁σ₂)＝(σ₁σ₂)³＝e'

なので，

f((ab)³)＝(σ₁σ₂)³＝e'

を見出せる。残りの単位元 e' を与える S₃の元の積は，

τ₁τ₂＝σ₂σ₁σ₁σ₂＝e'
τ₂τ₁＝σ₁σ₂σ₂σ₁＝e' 　
ee＝e   

であるが，すでに求めた関係子から自動的に成立するので，結局，f(a,b)の正規部分群はその生成元を用いて，

Ker f ＝( aa，bb，(ab)³ )

とすれば必要十分であることが分かります。

準同型定理より，

S₃ ＝{ e，σ₂σ₁，σ₁σ₂，σ₁，σ₂，σ₁σ₂σ₁}
　　〜 F(a,b)/( aa，bb，(ab)³ )
　　＝{ e，ba，ab，a，b，aba　}

生成元と関係子を用いて表すと表すと，

S₃＝＜σ₁，σ₂＞ 〜 ＜a，b｜aa＝e，bb＝e，(ab)³＝e＞

［９］

さて，２つの可換群（加群） G＝F(a) 〜 Z，H＝F(b)〜Z　を考えます。

ここで，m₁，m₂，･･･∈F(a)，n₁，n₂，･･･∈F(b)　とすれば，自由積　G*H　の元として，

･･･＋m_i＋n_j＋m_k＋n_l＋･･･　　有限個の和

を考えると，これ以上は簡潔に表せません。

しかし，F(a) の元と F(b) の元が可換である，すなわち，ab＝ba　が成り立つのであれば，

　　･･･＋m_i＋n_j＋m_k＋n_l＋･･･　　
＝(…＋m_i＋m_k＋…)＋(…＋n_j＋n_l＋…)　＝　m＋n　

ただし，m＝…＋m_i＋m_k＋…，　n＝…＋n_j＋n_l＋…，　m∈F(a)，n∈F(b)

のように F(a) の元と F(b) の元をそれぞれ一か所にまとめて直和加群，

GH ＝ F(a)F(b) 〜 ZZ

として表すこととができます。これを自由積 G*H の可換化といいます。

直和加群についてはこちらのページを参考にしてください　⇒　[#]　。

[10]

例３　　対称群 S₃の可換化

S₃ ＝＜a，b｜aa＝e，bb＝e，(ab)³＝e＞

を可換化するためには，関係子に　ab＝ba　を追加すればよい。すると，それは，

(ab)³＝e　⇒　a³b³＝e　⇔　a(a²b²)b＝e　
　　　　　　　　　⇔　ab＝e　⇔　b＝a^-1

の関係を導入すること相当する。すなわち，対称群 S₃の可換化は，

[S₃]/[S₃，S₃] ＝＜a｜aa＝e＞〜　Z₂　(位数２の巡回群)

となります。

ここで，[S₃，S₃] は交換子群で，群Gの可換化を　[G]/[G，G]　と表記することができます。その正当性については，当ホームページの代数入門　「10-2 交換子群と可解群」　を参考にしてください。

２．基本群

［１］　弧状連結な図形　（=位相空間としてもよいがここでは具体的な図形のイメージで説明する）　X の基点と呼ばれる一点から出発して，同じ点に戻る連続曲線 (連続写像) φ：[0,1]→X，φ(0)＝φ(1)＝x₀　をループといいます。

ホモトープ とは，連続的な変化で写りあえる２つのループの関係のことで，形式的に述べると，

X の中に基点を一つ固定してすべてのループを考えるとき，ホモトープは同値関係〜を与えます。

すなわち，

(1)　φ〜φ
(2)　φ〜ψ　⇒　ψ〜φ
(3)　φ〜ψ， ψ〜χ 　⇒　 φ〜χ

を示すことができます。その同値類の一つ一つをホモトピー類 [φ_k] と呼びます。(φ_kは代表元)　

また，ホモトピー類の全体集合を，π₁(X,x₀) と書きます。

π₁(X，x₀)＝{ [φ₁]， [φ₂]，･･･， [φ_k]，･･･ }

このとき，π₁(X，x₀) には群の構造を入れることができます。

ここでは，[φ_k] と表していますが，文脈からホモトピー類であることが自明の場合は，[　] をはずして，φ_k　と書くこともあります。

［２］

［３］

例

例として，円周S¹の基本群をあげておきます。

簡単な説明

x₀ を円周の任意の点として，x₀ から出発して定められた円周の順方向に１周だけしてx₀ に戻るループが生成元です。すると，円周を何周してx₀に戻ってくるかによってループを特徴付けることができます。そのとき，逆方向に回るループにはマイナスを付け，x₀ にとどまって動かないループ，単位元は0周したループと考えます。つまり，ループは，

Z＝{　･･･，-2，-1，0，1，2，･･･　}　　　　整数の加法群

と1対１に対応させることができて，演算は，通常の加法に対応します。すなわち，

π1(S1，x0) 〜 Z　〜　F(α)　　(整数加群)

ということができます。

厳密な証明　　

は長過ぎるので，欄外にスキームだけ示しておきます。⇒　こちら[#]

なお，単位元だけからなる最も単純な基本群をもつ図形には名前が付いています。

例

２次元球面 S²，２次元円板 Δ² は単連結な図形である。

［４］

X＝[0,1]　であれば，ループどおしのホモトープと同じになります。同じ1次元で考えるならば，例えば，X＝S¹（円周=1）として，下図のような連続写像がこの定義の基点を保ったままホモトープという
ことになります。（この連続写像ならば，具体的な数式でも表せますが，ここに書くのは止めておきます。）

Xが球面であれば，上図の円を球面としてイメージすればよいでしょう。

［５］

「弧状連結な図形 X ，Y 」 の文言は，「位相空間 X，Y 」としてもよい。

例　として最も簡単なものは，

X＝R，Y＝{ 0 }　のとき，

φ： X → Y　を　φ(s)＝0　　 　　　［零写像］
ψ： Y → X　を　ψ(0)＝0

とすると，

ψοφ： X→X　　　ψ(φ(s))＝0　　零写像　　　　　　････　[*]
φοψ： Y→Y　　　φ(ψ(0))＝0　　恒等写像　id_Y　

となりますが，零写像 [*] が恒等写像 id_X とホモトープであることは，

H(s,t)＝ts　

とすれば，

H(0,s)＝0･s＝0＝ψ(φ(s))
H(1,s)＝1・s＝s＝id_X　      

すなわち，ψ(φ(s)) と id_X とはホモトピー同値です。以上，ホモトープの条件（１）が示されました。

条件（２）は　φ(0)＝ψ(0)＝0　である。　ことから直ちに分かります。　　　

結論として，R と { 0 } はホモトピー同値である，ということができます。

しかし，R と { 0 } は位相同型ではありません。ホモトピー同値は位相同型を緩くした概念で，一般的に，

位相同型　⇒　ホモトピー同値　〇 ホモトピー同値　⇒　位相同型　×

です。

［６］　ホモトピー同値の有用性は，

ということが成り立つことです。また，位相同型ならばホモトピー同値なので，基本群は位相普遍性のある性質のいうこともできます。

ホモロジー群については次ページで説明します。

３．基本群の計算に有用な定理

［１］　基本群の具体的な計算に必要な初等的な定理を紹介し，トーラスT²の基本群を実際に求めてみましょう。

基本的なレトラクション，レトラクトを以下挙げておく。

1点にレトラクションできる図形は可縮であるといいます。可縮な位相空間は単連結ですが，その逆は成り立ちません。球面は単連結ですが可縮ではありません。

可縮空間　⇒　単連結空間　　〇 単連結空間　⇒　可縮空間　　×

［２］　トーラスから IntΔ² を取り除いた「穴あきトーラスT’」の部分集合 S (下図に示す) はレトラクトである。

T’のレトラクトは，2つのループが1点で繋がって図形です。

［３］

言い換えると，

　「位相空間 X と Y がホモトピー同値であれば，X と Y の基本群は同型である。」　

ということです。

この定理を利用すれば，π₁(X，x₀) を直接計算する代わりに π₁(Y，x₀) を計算しても良いことが分かります。

［４］　さらに上の定理と次の命題を組み合わせることで，より単純な図形（位相空間）を代用して基本群の計算を行いうことができます。

（１）はレトラクションの定義から明らかであり，（１）から（２）は，すぐ上の定理３．１から直ちに分かります。

［５］

ファン・カンペンの定理はもう少し一般的に述べることができますが，ここでは基本群の計算に直接利用できる形で紹介しておきます。

2つの円周が1点で接している下図 (〜T’のレトラクト) の場合はほぼ自明でしょう。

この図形の基本群をファン・カンペンの定理（１）に従って計算すると，

π₁(X∪Y，x₀)＝π₁(S¹_α∪S¹_β，x₀)
　　　　　　　　 ＝π₁(S¹_α，x₀)*π₁(S¹_β，x₀)
　　　　　　　　　　　　　↓　円の基本群　⇒　[#]
　　　　　　　　 ＝F（α)*F(β)
　　　　　　　　 ＝F(α，β)

これが ”穴あきトーラス” の基本群 π₁(T’，x₀) です。

［６］

穴あき多様体の境界Σ¹とΔ²の境界∂Δ²とを張り合わせてできる多様体の張り合わせ前後の基本群の関係を示しているのが次の定理です。

要点は，

X’の境界Σ¹を１周することに相当するX’の１点x₀を基点とするX’のループに同値なすべてのループは，多様体 X’の境界Σ¹に円板を張り合わせて塞いでできる多様体 X (＝X’∪Δ²) の基本群 π₁(X，x₀) では [e] に属している。（X上ではΣ¹は1点に可縮なので）

ということです。

［７］

例１

この定理（２）を利用して，T’の基本群からトーラスT² の基本群を計算する方法を与えておきます。

X’＝T’　 穴あきトーラス面
X　＝T²　　トーラス面

として，ファン・カンペンの定理（２）を適用します。

T’のΣ1〜αβα-1β-1		T’の境界αβα-1β-1 (赤い曲線） のトーラスT2上での形。 どこにも引っ掛かることなく1点に収縮させることができる。

トーラスは，穴あきトーラスT’の穴(境界Σ¹) をΔ²の境界∂Δ²と張り合わせて塞いだ閉多様体なので，ファン・カンペンの定理を利用できます。

T’の基本群 π₁(T’，x₀) はすでに求めたように自由群 F(α，β)　です。

T’の境界Σ¹は，上図(左）の赤い閉曲線（ループ）を辿って，αβα^-1β^-1 ∈ π₁(T’，x₀) であることが分かります。

よって，ファン・カンペンの定理（２）における”正規部分群”とは，

([h])＝([αβα^-1β^-1])＝{  x^-1αβα^-1β^-1 x｜x∈π₁(T’，x₀) }

であり，トーラスの基本群は，

π₁(T²，x₀)＝π₁(T’∪Δ²，x₀)
　　　　　　　＝π₁(T’，x₀)/([h])
　　　　　　　〜F(α，β)/([αβα^-1β^-1])
　　　　　　　〜＜α，β｜αβα^-1β^-1＝e＞　　［トーラスの基本群］

と計算できます。

さらに，関係子αβα^-1β^-1＝e はαβ＝βα （αとβは可換）と変形すれば，上式は自由積 F(α)*F(β) の可換化 [#] とみなすことができるので，

π₁(T²，x₀)＝F(α)F(β)＝ZZ

トーラスの基本群は階数２の自由アーベル群　ZZ と同型であることが分かります。

［８］

例２　射影平面の基本群

トーラスの場合と同様に，

（１）　穴あき射影平面 P’のレトラクトの基本群π₁(P’，x₀) ＝F(α)を求める。

（２）　穴あき射影平面 P’の境界のループΣ¹の属する π₁(P’，x₀) のホモトピー類［α²］を求める。

（３）　ファン・カンペンの定理（２）における”正規部分群”とは，

([h])＝([α²])＝{  x^-1α²x｜x∈π₁(P’，x₀) }

（４）　射影平面の基本群は，

π₁(P²，x₀)＝π₁(P’∪Δ²，x₀)
　　　　　　　＝π₁(P’，x₀)/([h])
　　　　　　　〜F(α)/([α²])
　　　　　　　〜＜α｜α²＝e＞ 　［射影平面の基本群］
　　　　　　　〜 Z₂　　　             　

と計算できます。

［９］　　ここまで説明すれば，2次元閉多様体の標準形の基本群は結果だけ書いておいても問題ないでしょう。

（注意）　g＝1のときは，α_g,β_gは可換なので，π₁(T²，x₀) ＝ZZ であることはすでに述べましたが，g≧2では，π₁(gT²，x₀) ≠ZZZ…ZZ　(2g個のZ)　とはなりません。そのように表せるためにはα_j，β_ｋ　（g=1,2,…，g ）がすべて互いに交換可能である必要があります。

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ループを繋ぐ演算で群になることの確認

単位元の存在

 [e] [φ]＝[eφ]＝[φ]　を満たす [e] の存在を示す。

連続写像を，

H(t,s)＝		x0　　　　　　　　　　　　　　(s≦(1-t)/2)
		φ((2s-1+t)/(1+t))　　　　（s≧(1-t)/2)

とおくと， ホモトープの条件 (1) について，

H(0,s)＝		x0　　　　　　　　　　　　(s≦1/2)
		φ(2s-1)　　　　　　　　　(s≧1/2)

＝e･φ(s)　　　　　　　　　(0≦s≦1)

H(1,s)＝		x0　　　　　　　　　　　　(s≦0)
		φ(s)　　　　　　　　　　　(s≧0)

＝φ(s)　　　　　　　　　　　(0≦s≦1)

ホモトープの条件 (2)について，　　

H(t,0)＝		x0　　　　　　　　　　　　　(0≦(1-t)/2)
		φ((-1+t)/(1+t))　　　　　（0≧(1-t)/2

＝		x0　　　　　　　　　　　　　　(t≦1)
		φ((-1+t)/(1+t))　　　　　　(t≧1)

　　　　＝x₀　　　　　　　　　　　　　　　(0≦t≦1)

H(t,1)＝		x0　　　　　　　　　　　　　(1≦(1-t)/2)
		φ((1+t)/(1+t))　　　　　　（1≧(1-t)/2)

＝		x0　　　　　　　　　　　　　(t≦-1)
		φ(1)＝x0　　　　　　　　　（t≧−1)

　＝　x₀　　　　　　　　　　　　　　(0≦t≦1)

よって，ループ e・φとφとはホモトープである。すなわち，

[e] [φ]＝[φ]

を　[e]　は満足する。

逆元の存在

H(t,s)＝		φ(2st)　　　　　　　　(s≦1/2)
		φ-1(1+2t(s-1))　　　(s≧1/2)

とおくとよい。

ホモトープの条件 (1) は

H(0,s)＝		φ(0)　　　　　　　　　　　(s≦1/2)
		φ-1(1)　　　　　　　　　　(s≧1/2)

　　　　＝　e(s)　　　　　　　　　　　(0≦s≦1)

H(1,s)＝		φ(2s)　　　　　　　　　　(s≦1/2)
		φ-1(1+2(s-1))　　　　　(s≧1/2)

　　　　＝φ・φ^-1(s)　　　　　　　　(0≦s≦1)

ホモトープの条件 (2) は

H(t,0)＝φ(0)　　　　　　　　　　　

　　＝x₀　　　　　　　　　　　　　(0≦t≦1)

H(t,1)＝φ^-1(1)　　　　　　　　　　

　　　　　＝x₀　　　　　　　　　　　　　(0≦t≦1)

よって，φ・φ^-1と e とはホモトープである。　　

弧状連結な位相空間をX，弧状連結なその部分空間をSとするとき，連続写像 H ： [0,1]×X　→ X　が

(1)　H(0,x)＝x　
　　 H(1,x)∈S　　　　　　　　　　　　( ^∀x∈X　)
(2)　x∈Sについて，H(t,x)＝x　　( ^∀t∈[0,1] )

であるときは，変位レトラクションという。　　

円周S¹の基本群

連結な位相空間の部分集合A が開集合，かつ，閉集合であれば，A＝φまたは A＝X である。


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