２準位系
f-denshi.com  更新日：05/9/01

１．スピン磁気共鳴

［１］　+z方向を向いている静磁場：

B₀　＝（ 0、0、B₀ ）

の中に置かれている電子スピンを考えます。電子の電荷を - e 質量を m とすると電子の磁気モーメントμ_s は、

μs ＝ γS ＝ −	e	S	：　ただし、γ ＝ −	e
	m			m

で与えられます[#]。そこへx-y平面内で角速度ωで回転する磁場、

B₁＝（ B₁cosωt、B₁sinωt、0 ）　

を静磁場場に重ね合わせたとき、ハミルトニアンは、B ＝B₀ ＋B₁   として、　

H　＝ −μs・B ＝	e	S (B0 ＋ B1)
	m

＝		e	（0＋0＋B0 Sz） ＋	e	（ B1cosωt Sx＋B1sinωt Sy＋0）
		m		m
		第１項		第２項

となります。これを、S_zの固有ブラ・ケット [#] で記せば、第１項は、

H0 ＝	eB0h	（｜＋＞＜＋｜ − ｜−＞＜−｜）
	2m

第２項は、

V（t） ＝	eB1h		cosωt・（｜＋＞＜−｜＋｜−＞＜＋｜）＋sinωt・（-i｜＋＞＜−｜＋i｜−＞＜＋｜）
	2m

＝	eB1h		e-iωt （｜＋＞＜−｜ ＋ eiωt ｜−＞＜＋｜）
	2m

［２］　ここで、この問題を一般化するために記号を次のように改めます。

eB1h	⇒　Γ、　　｜−＞　⇒　｜1＞、　｜＋＞　⇒　｜2＞
2m

−	h	⇒ ε1、　＋	h	⇒ ε2
	2		2

この問題の解は電子スピン共鳴のほか、核磁気共鳴（NMR）、メーザーなど分光法の分野で非常に重要です。また、この（３）は正弦的に時間変化するポテンシャルで、調和摂動と呼ばれます。

［３］　この問題を解くために、解を相互作用表示を用いて

｜ψ、t＞_I  ＝ c₁（t）｜1＞＋ c₂（t）｜2＞

V_nm ＝ ＜n｜V ｜m＞

V12＝V21*＝Γeiωt V11＝V22＝0	；　　ω21 ＝	ε2−ε1
		h

とすれば、解くべき微分方程式は、

となります[#]。

［４］　これを初期条件：

c₁（0） ＝1、　 c₂（0）＝0

で解くと、

ラビの公式　： 上の準位に見出される確率：          ｜c2（t）｜2 ＝ Γ2 sin2Ωt h2Ω2 下の準位に見出される確率：         ｜c1（t）｜2  ＝ 1−｜c2（t）｜2 　          ：　ただし、Ω ＝ Γ2＋（hω−hω21）2/4  h

すなわち、最初｜１＞にあった状態は、時間が経つと｜2＞に見出される確率が生じ、それは周波　2Ωで振動します。
その際、｜sin²Ωt｜＝1 を満足する時刻において上の準位｜２＞に見出される確率は最大となり、

Max ｜c2（t）｜2 ＝	Γ2
	Γ2＋（hω−hω21）2/4

となります。これは、ωの関数（右図）ですが、

ω ＝ ω21 ≡	ε2−ε1
	h

のとき、すなわち、Ω ＝Γ/h  のときに、Max ｜c₂（t）｜² は最大値 １ をとります。この 「ω ＝ ω₂₁」 を共鳴条件といいます。この共鳴条件下では、状態は｜１＞と｜２＞の間を、

｜c2（t）｜2 ＝ sin2	Γ	t
	h

にしたがって時間変化（単振動）ます。これを図示すると次のようになります。

最初｜１＞にあった状態は、ポテンシャルからエネルギーを吸収し、時刻、t＝πh/2Γ で状態｜2＞に変化します。この時刻を過ぎると今度はポテンシャルにエネルギーを放出し始め、時刻、t＝πh/Γ で状態｜1＞に戻ります。以後これを繰り返します。

この結果をスピン磁気共鳴に当てはめると、B₀ に垂直な面内で回転する磁場B₁ の存在によって、スピンがz方向で上下反転を繰り返すことを示しています。

微分方程式の解法

｜c2（t）｜2 ＝	Γ2	sin2		t	・	Γ2＋（hω−hω21）2/4
	Γ2＋（hω−hω21）2/4			h

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