定常状態の摂動論　１
f-denshi.com  更新日：05/05/12

定常状態の摂動論の一般論についてまとめてます。特別気のきいた説明はありませんが、
色分けして見やすくしています。

［１］　シュレーディンガー方程式の厳密解が求まることはほとんどなく、実用上は近似を用いて満足することになります。

まず、問題となるシュレーディンガー方程式（＝固有方程式）、

H｜n＞＝εn｜n＞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・　[*]

において、ハミルトニアン H は、次のように主要部分 H₀ と摂動項と呼ばれる小さな項λH’との和で、

H ＝ H₀ ＋ λH’　、　　　　　λ << 1

と書くことが可能とします。このとき、主要部分の固有方程式、

H0 ｜n(0) ＞＝ εn（0）｜n(0)＞                        ・・・・・・・　[**]

は厳密に解くことができて、

固有値： ε₁^（0）、ε₂^（0）、ε₃^（0）　・・・・

と、完全直交関数系をなす

固有関数：　｛｜1⁽⁰⁾＞、｜2⁽⁰⁾＞、・・・、｜n＞⁽⁰⁾、・・・｝

がわかっているとします。　（つまり，「摂動法」が適用できるためには主要項H₀ の厳密解がわかっている必要がある！　一方，もう一つの重要な近似法である「変分法」ではその必要はありません。）

［２］　今、λ→0  のとき、つまり、H → H₀ 　のとき、

｜n＞ →｜n⁽⁰⁾＞、     ε_n→ε_n^（0）　

なので、[*]　の解、｜n＞ と ε_n を次のようなλのベキ級数展開の形で求めることにします。

｜n＞ ＝ ｜n(0)＞ ＋ λ｜n(1)＞ ＋ λ2｜n(2)＞ ＋  ・・・・　　　　　　　　　　　　　　   εn  ＝ εn（0）    ＋ λεn(1)    ＋ λ2εn(2)    ＋  λ3εn(3) ＋・・・・ ・・・・［0］

すなわち、｜n⁽¹⁾＞ 、｜n⁽²⁾＞ 、・・・と、ε_n⁽¹⁾ 、ε_n⁽²⁾ ・・・ をすでに既知である、

ε₁^（0）、ε₂^（0）、ε₃^（0）　・・・・    と   ｜1⁽⁰⁾＞、｜2⁽⁰⁾＞、・・・、｜n⁽⁰⁾＞、・・・

を用いて表すことができれば、問題解決 ということです。

［３］　そこで、［0］ をもとのシュレーディンガー方程式 [*] に代入すると、

（H₀＋λH’）（ ｜n⁽⁰⁾＞ ＋ λ｜n⁽¹⁾＞ ＋ λ²｜n⁽²⁾＞ ＋  ・・・・）
                            ＝（ε_n^（0） ＋λε_n⁽¹⁾＋ λ²ε_n⁽²⁾ ＋  ・・・・）（ ｜n＞_n⁽⁰⁾ ＋ λ｜n⁽¹⁾＞ ＋ λ²｜n⁽²⁾＞ ＋  ・・・・）

λの次数で整理すると、

     H₀ ｜n⁽⁰⁾＞        
                    ＋　     ｛H’｜n⁽⁰⁾＞＋H₀｜n⁽¹⁾＞ ｝λ
                    ＋      ｛H’｜n⁽¹⁾＞ ＋H₀｜n⁽²⁾＞ ｝λ²  ＋  ・・・・
  ＝ε_n^（0）｜n⁽⁰⁾＞
                    ＋                 ｛ε_n⁽¹⁾ ｜n⁽⁰⁾＞＋ε_n^（0）｜n⁽¹⁾＞ ｝λ 
                ＋ ｛ε_n⁽²⁾｜n⁽⁰⁾＞＋ε_n⁽¹⁾｜n⁽¹⁾＞＋ε_n^（0） ｜n⁽²⁾＞｝λ²  ＋  ・・・・

この恒等式が成り立つためにはλの各次数について両辺が等しくなければならない。すなわち、

［４］　｜n＞⁽¹⁾ を、｜n⁽⁰⁾＞　での展開した、　　　　　（↓これから c_k を求めようとしてます.）

｜n＞⁽¹⁾ ＝c₁｜1⁽⁰⁾＞＋c₂｜2⁽⁰⁾＞＋・・・＋c_n｜n⁽⁰⁾＞ ＋ ・・・         

＝

ck｜k(0)＞

を（１）に代入すると、

 H’｜n⁽⁰⁾＞＋（H₀−ε_n^（0））｜n⁽¹⁾＞  ＝ε_n⁽¹⁾ ｜n⁽⁰⁾＞

H’｜n(0)＞＋(H0−εn（0））

ck｜k(0)＞

＝εn(1) ｜n(0)＞

　　　　↓　　H₀｜k⁽⁰⁾＞＝ε_k^（0）｜k⁽⁰⁾＞　なので

H’｜n(0)＞＋

(εk（0）−εn（0））ck｜k(0)＞

＝εn(1) ｜n(0)＞

・・・・（３）

この式について左から ＜n⁽⁰⁾｜をかければ、、

＜n(0)｜H’｜n(0)＞＋

(εk（0）−εn（0））ck＜n(0)｜k(0)＞

＝εn(1) ＜n(0)｜n(0)＞

↓  ＜n⁽⁰⁾｜k⁽⁰⁾＞＝δ_nk　に注意して、

＜n⁽⁰⁾｜H’｜n⁽⁰⁾＞＝ε_n⁽¹⁾　　　                       　←　ε_n⁽¹⁾　が求まりました。

［５］　また、（３）に左から ＜ｊ⁽⁰⁾｜、 (　j ≠ n  )　をかければ、

＜ｊ⁽⁰⁾｜H’｜n⁽⁰⁾＞＋(ε_j^（0）−ε_n^（0））c_j ＝ 0　      ←　c_j　 ( j ≠ n  )　が求まりました。

したがって、　　　　　（j ＝n　のとき、つまり、　c_n については、0　[#]　）

［６］　２次の摂動項についても１の場合と同様な計算を、　（↓これから d_k を求めようとしてます.）

｜n⁽²⁾ ＞＝ d₁｜1⁽⁰⁾＞＋d₂｜2⁽⁰⁾＞＋・・・＋d_n｜n⁽⁰⁾＞ ＋ ・・・         

＝

dk｜k(0)＞

として d_kを求めればよいことがわかっています。ひたすら計算するだけなのですが、詳細はパスして結果だけ書いておくと、

２次の摂動エネルギーと εn(2)  ＝ − |＜k(0)｜H’｜n(0)＞|2 ,             　（ただし，k≠n） εk（0）−εn（0） dj≠n ＝ − ＜j(0)｜H’｜k(0)＞＜k(0)｜H’｜n(0)＞| − ＜j(0)｜H’｜n(0)＞＜n(0)｜H’｜n(0)＞ 　　（ただし，k≠n） （εj（0）−εn（0））（εk（0）−εn（0）） （εj（0）−εn（0））2 dn ＝ − 1 |＜k(0)｜H’｜n(0)＞|2 2 （εk（0）−εn（0））2

以上で一般論は終わりで、次ページから簡単な系について具体的に計算してみましょう。

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｜n＞ ＝ ｜n⁽⁰⁾＞ ＋ λ｜n⁽¹⁾＞ ＋ λ²｜n⁽²⁾＞ ＋  ・・・・　　　　

｜n＞⁽¹⁾ ＝c₁｜1⁽⁰⁾＞＋c₂｜2⁽⁰⁾＞＋・・・＋c_n｜n⁽⁰⁾＞ ＋ ・・・   
｜n⁽²⁾ ＞＝ d₁｜1⁽⁰⁾＞＋d₂｜2⁽⁰⁾＞＋・・・＋d_n｜n⁽⁰⁾＞ ＋ ・・・         

＜n｜n＞＝＜n⁽⁰⁾｜n⁽⁰⁾＞＋λ(＜n⁽⁰⁾｜n⁽¹⁾＞＋＜n⁽¹⁾｜n⁽⁰⁾＞)＋λ²(＜n⁽¹⁾｜n⁽¹⁾＞＋＜n⁽⁰⁾｜n⁽²⁾＞＋＜n⁽²⁾｜n⁽⁰⁾＞)＋・・・・

　　　　　　＝1＋(c_n＋c_n^*  )λ＋(c₁²＋c₂²＋・・・＋c_n²＋ ・＋d_n＋d_n^*)λ²　＋　･･･

ここで，＜n｜n＞が1と規格化されるためには各λの冪の係数が0でなくてはならない。特に1次の項から，c_nは0であるか純虚数でなければならないことが分かる。