８　正規部分群
f-denshi.com  最終更新日：  04/04/18
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　前ページでは群に同値関係を導入するために a を含む左剰余類，aH＝{a・h | h∈H｝を考えましたが，同様に右剰余類，Ha＝{ h・a | h∈H ｝を考えることができます。この二つの剰余類は一般的には一致しません。（S₁，S₂，･･は一致しません。）この２つが一致するかしないかは，非可換群の分類や特徴付けに利用されます。

1．部分群S₁による右剰余類

［１］　左剰余類別と同様に，正四面体群 G の S₁ ＝｛e，a₁，b₁｝による右剰余類，S₁x＝{s・x | s∈S₁｝ を求めましょう。
　　正四面体群表から抜き出した下の表：

X･Y

e

a1

b1

a2

b4

hx

a3

b2

hz

a4

b3

hy

e

e

a1

b1

a2

b4

hx

a3

b2

hz

a4

b3

hy

a1

a1

b1

e

b4

hx

a2

b2

hz

a3

b3

hy

a4

b1

b1

e

a1

hx

a2

b4

hz

a3

b2

hy

a4

b3

から，

S₁a₁＝S₁b₁＝S₁e　＝｛a₁，b₁，e ｝
S₁a₂＝S₁b₄＝S₁h_y＝｛a₂，b₄，h_x｝
S₁a₃＝S₁b₂＝S₁h_x＝｛a₃，b₂，h_z｝
S₁a₄＝S₁b₃＝S₁h_z＝｛a₄，b₃，h_y｝

すなわち，四面体群 G の部分群 S₁ による右剰余類は，

｛a₁，b₁，e｝，｛a₂，b₄，h_x｝，｛a₃，b₂，h_z｝，｛a₄，b₃，h_y｝

となります。これを先に求めた部分群 S₁ による左剰余類[#]，

｛a₁，b₁，e｝，｛a₂，b₃，h_z｝，｛a₃，b₄，h_y｝，｛a₄，b₂，h_x｝

と比べてみると，

であることがわかります。

２．部分群Hによる右剰余類

［１］　次に正四面体群 G の H による右剰余類を考えてみます。下表を参考にして

Ha₁＝Ha₂＝Ha₃＝Ha₄ ＝｛a₁，a₂，a₃，a₄｝＝ A
Hb₁＝Hb₂＝Hb₃＝Hb₄ ＝｛b₁，b₂，b₃，b₄｝＝ B
He ＝Hh_x＝Hh_y＝Hh_z ＝｛ e，h_x，h_y，h_z ｝＝ H

となります。この結果をH による左剰余類[#] と比べてみれば，

このように ［右剰余類］＝［左剰余類］ を与える部分群 H を正規部分群といいます。

［２］　きちんと書いておくと，

群G が可換群の場合，そのすべての部分群が正規部分群となることはすぐにわかります。一方，群G の自明な正規部分群である G自身 と 単位元だけからなる集合以外には，正規部分群を持たないような群もあります。このような群を単純群と言います。ここで調べた正四面体群は２つのタイプの中間にあるわけです。

３．商群

［１］　正規部分群による剰余類，A，B，H は集合ですが，この集合を元とする集合，つまり，集合の集合を考えることで新しい群を構成することができます。このようなことは正規部分群ではない部分群，S₁，S₂ にはない性質です。具体的には，

A＝｛a₁，a₂，a₃，a₄ ｝
B＝｛b₁，b₂，b₃，b₄ ｝
H＝｛ e，h_x，h_y，h_z ｝

と置き，集合 A，B，H を元とする集合 ｛A，B，H ｝ を考えるわけです。この元（＝剰余類）どうしの演算 * として，

H*B＝｛hB | h∈H ｝　　　，ただし，　hB＝｛hb₁，hb₂，hb₃，hb₄ ｝

のように定義します。ここで hがe，h_x，h_y，h_zのいずれであっても，hBは，

eB＝｛eb₁，eb₂，eb₃，eb₄ ｝　　　　＝｛b₁，b₂，b₃，b₄ ｝
h_xB＝｛h_xb₁，h_xb₂，h_xb₃，h_xb₄ ｝＝｛b₂，b₁，b₄，b₃ ｝
h_yB＝｛h_yb₁，h_yb₂，h_yb₃，h_yb₄ ｝＝｛b₄，b₃，b₂，b₁ ｝
h_zB＝｛h_zb₁，h_zb₂，h_zb₃，h_zb₄ ｝ ＝｛b₃，b₄，b₁，b₂，｝

となり，この4つの集合は，b₁，b₂，b₃，b₄ の並び順が変わるだけで同じです。結局，剰余類の演算結果として，

H*B　　⇒　｛b₁，b₂，b₃，b₄ ｝＝B

と一つ定めることができます。 これは，代表元を用いた記法では，ｅH*b₁H ＝ eb₁H ＝b₁H と書けます。

同様に，

A*H ＝ H*A ＝ A，　　（ a₁H*eH ＝ eH*a₁H ＝ ea₁H ＝a₁H）
B*H ＝ H*B ＝ B，     （ b₁H*eH＝eH*b₁H＝eb₁H＝b₁H）
H*H ＝ H                  （ eH*eH ＝e･eH ＝ eH）

とできることもわかります。さらに同じ規則のもとで，

A*B ＝ B*A ＝ H　　　（ a₁H*b₁H＝b₁H*a₁H＝a₁b₁H＝eH ）
A*A ＝ B                  （ a₁H*a₁H ＝ a₁a₁H ＝ b₁H ）
B*B ＝ A                  （ b₁H*b₁H ＝ b₁b₁H ＝ a₁H）

とすべての剰余類どおしに合理的な演算となっています。  （ Ｂ＝A^-1 となっていることもわかりますね。）

この演算規則は代表元を用いた書き方を用いれば，

xH * yH ＝ xyH　　［ 正規部分群による剰余類間の演算 * の定義 ］

と定義されていることになります。

これは，HをHに属するいずれかの元と考えて，

(xH)(yH)＝x(Hy)H＝x(yH)H＝xy(HH)＝xyN

という計算が可能だからです。

［２］　したがって，集合の集合 ｛H，A，B ｝ は演算 * のもとで群をなし，左下の群表のようになります。

この群を商群，または剰余群 G／H と言います。ここで，H が商群の ”単位元” であることに注意してください。まとめると，

「 正規部分群 H による左剰余類と右剰余類は一致し，その剰余類は商群をなし，H がその単位元となります。」

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以下とりこぼし，

組成列：

正四面体群 G は交代群 A₄ と同じ群ですが，これがS₄の正規部分群であることは，

sgn（g･A₄･g-1）＝sgn（A₄）sgn（g）sgn（g-1）＝+1，　g∈A₄　⇒　g･A₄･g-1∈A₄
gg^-1＝e（偶置換）なので，sgn（g）とsgn（g-1）の符号は等しい。

からわかります。また，H は今示したようにA₄の正規部分群で，さらに N＝｛e，h_x｝ が H の正規部分群，｛e｝がNの正規部分群なので，結局，

S₄ ⊃ A₄ ⊃ H ⊃ N ⊃ ｛e｝

というような包含関係が存在し，位数は24，12，4，2，1なのでこれらの中間に他の部分群は存在しません。さらに，商群，

S₄ / A₄ ， A₄ / H， H / N， N / ｛e｝

は位数2，3，2，2の巡回群で，これらは単純群です。このような 「 G から｛e｝への正規部分群の系列 」 を組成列と言います。

正四面体群(＝A4) の正規部分群Hの正規部分群 N_x＝{e，h_x} による類別，および，商群は，M＝{h_y，h_z} として，

X･Y e hx hy hz e e hx hy hz hx hx e hz hy hy hy hz e hx hz hz hy hx e

⇔

X･Y N M N N M M M N

部分群S1による左右の類別を考慮して，正四面体群の群表を整理すると下図のようになる。

正規部分群ではないS1によって商群は作られない。