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11 整数の剰余類の加群 | |
| f-denshi.com 最終更新日： 04/04/18 | ||
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この章では位数が無限大の群の類別を考えます。整数の集合に普通のたし算を導入するとそれは群になります。この群に同値関係を持ち込み，整数の剰余類と呼ばれる新しい群を構成しましょう。その手順は，整数をある自然数
n で割った余りが等しいとき，この整数を同一の集合に分類することで，n 個の同値類を得ます。次に，この同値類を元とする集合が群をなすための演算を定めます。
［1］ 整数の集合Zは普通のたし算 ＋ を演算とする群（Z，＋ ） です。整数の部分群として，n（＞1）の倍数全体からなる集合，
nZ ＝｛・・・，-2n，-n，0，n，2n，3n，・・・｝
は整数群（Z，＋）の正規部分群[#]です。したがって，前ページにならうと，nZ によって整数を類別し，nZ による商群 Z/nZ を得ることができるはずです。この商群は整数nによる剰余群と呼ばれます。
［2］ では，この商群を具体的に構成してみましょう。この章では演算として加法を表すために「＋」または「＋」記号を用いますが，（ 演算記号 ・ を用いた）前章の議論と本質的な違いはありません。
まず，同値関係を導入します。
| nZ を用いて，
b ＝ a＋s， s ∈ nZ （または，b−a＝s， s∈nZ ： a と b との差が n の倍数であることを同値関係と定める。） であるとき，整数 a，b の関係を，n を法として合同であるといい，a≡b （mod n ） と書く。 |
ことにします。この関係が同値関係であることは，
（1） a≡a （mod n ）
（2） a≡b （mod n ） ⇒ b≡a （mod n ）
（3） a≡b （mod n ），b≡c （mod n ） ⇒ a≡c （mod n ）
が成り立つことで確かめられます。
［3］ 次に a がすべての整数にわたるとき，どのような同値類が現れるか調べると，
0 ＋ nZ ＝｛・・・， −n， 0， n， 2n， ・・・ ｝
1 ＋ nZ ＝｛・・・， −n＋1， 1， n＋1， 2n＋1， ・・・ ｝
2 ＋ nZ ＝｛・・・， −n＋2， 2， n＋2， 2n＋2， ・・・ ｝
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（n-1）＋nZ ＝ ｛・・・ −n＋（n−1）， n−1，n＋（n−1），2n＋（n−1），・・・ ｝
の n 個の集合（同値類）で尽くされることがわかります。
| a＋nZ ＝ ｛a＋s｜s∈nZ｝ ⇒ ［a］n |
と記せば，整数群の集合はその部分群 nZ によって類別され，
| Z ＝ ［0］n∪［1]n∪・・・∪[n−1］n |
ここで，正四面体群のときの代表元を用いた記法などと比較すれば，
a＋nZ は a2S1，hxH など
［a］n は A， H など
に対応しています。[#]
となり，その剰余類の集合を，
| Zn ＝ ｛［0］n，［1]n，・・・[n−1］n ｝ |
と書くことにします。（注意1）。また， ［a］nの ” a ” をこの剰余類の代表元といい，普通 0 から n-1 までの整数を使います。
［4］ 例として，n＝5 のとき，剰余類は［0］5，[1]5，［2］5，［3］5，［4］5 の5つで尽くされます。ここで，［8］5を考えたとしても，8＝5＋3なので
［8］5＝｛・・・，−5＋8， 0＋8， 5＋8， 2×5＋8，・・・， k×5＋8， ・・・｝
＝｛・・・， 0＋3， 5＋3，2×5＋3， 3×5＋3，・・・，（k＋1）×5＋3，・・・｝
＝［3］5
となります。
［5］ 次に，この剰余類の元どうしの間に演算を定義します。それには，［a］n に属する任意の元 a’および，［b］nに属する任意の元 b’とすると，
a≡a’ （mod n ）， b≡b’ （mod n ） ⇒ a＋b ≡ a’＋b’ （mod n ）
が成立することに着目します。つまり，剰余類 ［a］n に属する任意の元と剰余類 ［b］n の属する任意の元の和 a’＋b’は，必ず，剰余類［a＋b］nに属しているので，剰余類 ［a］n と ［b］n との和 ＋ を
| ［a］n ＋ ［b］n ＝ ［a＋b］n |
とすれば，意味のある演算として定義できます。剰余類はこの演算のもとで群をなすことは容易に確かめられ，この群を整数nによる剰余群といい，Znと書きます。（ Zn＝Z/nZ です。）
（Zn が位数 n の巡回群に用いる記号 Zn と同じ記号を使われるのには意味があります。）
［6］ n＝5 のとき，すなわち，Z5 の群表を下に示します。
＋ ［0］n ［1］n ［2］n ［3］n ［4］n ［0］n ［0］n ［1］n ［2］n ［3］n ［4］n ［1］n ［1］n ［2］n ［3］n ［4］n ［0］n ［2］n ［2］n ［3］n ［4］n ［0］n ［1］n ［3］n ［3］n ［4］n ［0］n ［1］n ［2］n ［4］n ［4］n ［0］n ［1］n ［2］n ［3］n
この群の単位元は［0］5，［a］5の逆元は［5−a］5です。
なお，代表元としてふつう，0 から 4 までの整数を用いるので，上表で a＋b が 5 を超える場合，
［5］n＝［0］n，［6］n＝［1］n，［7］n＝［2］n，［8］n＝［3］n
としています。（言うまでもなく，赤い色はここだけのサービスで，ふつうは色分けしません。）