８　ガロア拡大とガロア群
f-denshi.com  最終更新日：　21/08/08
［目次へ］
サイト検索

前の２つのペ−ジで示した有限体上での方程式の解法を一般の無限体上での代数方程式の解法への拡張します。

これまでやってきたことを復習しながら要点をまとめてみましょう。

１．分解体

［１］　

体F₇上で根をもたない多項式：　

φ(x)＝x²−3 ＝ 0　

における多項式 φ はF₇上で既約です。なぜなら，可約で（x−a）（x−b）と因数分解ができれば，a，b をF₇ に根をもつはずですが，実際は新しい数 α（α²＝3 ）を用いないと表せませんでした。

F₇上の多項式環 F₇[x] の既約多項式φ(x)が生成するイデアル（φ） [#]　による剰余環：F₇[x]/（ φ ） を考えます。（実はこれは体でもある。）２次式で割った余りですから，この剰余環の元は１次式以下となり，ax＋b＋（ φ ） ；　a，b ∈F₇ と表すことができます。これを整数の剰余環にならって，

［ax＋b］_φ　　（　∈F₇[x]/（φ）　）

と書いてみましょう。このとき，これまでみてきたように剰余類の計算規則にしたがって，

［ax＋b］_φ　＝ [a]_φ・[x]_φ＋［b］_φ

[x]_φ・[x]_φ＝[x²]_φ ＝ ［3］_φ

というような計算ができます。　ここで，F₇[x]/（φ）（←これは1次式の集合でした）から　F₇² ＝F₇(α) への写像

Φ：　[a]_φ・[x]_φ＋［b］_φ　　→　aα＋b　　　　a，b，α　∈　F₇²

[a]_φ　→　a
[x]_φ→　α　　　　 ( α²＝3 )
[b}_φ　→　b

を考えるとこれは同型写像でした（準同型定理）。

［２］　つまり，F₇ からF₇² を構成する方法は，

［A］　［拡大体］　F₇ に α を添加してできる体 F₇（α）　
［B］　［剰余体］　F₇[x] の剰余体 F₇[x] /（φ ）  

の２通り (の考え方) があるのです。これは以下のように一般化できます。[#]

［３］　F は F[x]/(φ(x)) の部分体なので，F上のm次元の既約多項式

r₀＋r₁x＋・・・・＋r^m-1x^m-1＋x^m 　　・・・・・・・・・・・・　（１）

は F[x]/(φ(x)) 上の多項式と見ることもできます。つまり，

［r₀]_φ＋［r₁］_φX＋・・・・＋［r_m-1］_φX^m-1＋X^m 　　・・・（２）

と見ることができます。ここで（２）の左辺の X∈ F_φ に ［x］_φ∈ F_φを代入してみます。すると，（剰余類の計算規則に従い，）

［r₀]_φ＋［r₁］_φ［x］_φ＋・・・・＋［r_m-1］_φ［x^m-1］_φ＋［x^m］_φ
　　＝［r₀]_φ＋［r₁x］_φ＋・・・・＋［r_m-1x^m-1］_φ＋［x^m］_φ
　　＝［r₀＋r₁x＋・・・・＋r_m-1x^m-1＋x^m］_φ
　　　　　↓∵　r₀＋r₁x＋・・・・＋r_m-1x^m-1＋x^m　∈Ker Φ
　　＝［0］_φ　　　
　　＝0

となり，［x］_φ が体 F_φ 上の方程式（２）の根であることがわかります。すなわち，

このことからφが F[x]/(φ(x)) 上にもつ根 α をもちいて，

φ(x)＝（x−α)g(x)　

ただし，g(x)は m-1次式で，g(x)∈F_φ[x]です。

g(x)が既約ならば，さらにこのg(x)に対して大きな剰余体 F_φ[x]/（g(x)） を考えてg(x) をその上で因数分解できるでしょう。これを繰り返してゆけば，最終的にφ(x)は1次の因数だけに因数分解できることが分かります。(厳密には数学的帰納法で証明する。）

［４］　任意の多項式 f(x) は，f(x)＝φ(x)φ₂(x)･･･φ_z×(1次の因数)　と表されることを考えれば，

　　f(x) ＝ （x−x₁）（x−x₂）・・・（x−x_m）

と最後には完全に一次の因数に分解できる大きな体 Ｌ を見つけられることが分かります。このように因数分解できる体 K を f(x) の分解体といいます。

また，上の説明から分かるように，すべての多項式に分解体は存在します。

［５］

例　を挙げておきます。

Q上の多項式 f(x)∈Q[x] を考えます。

f(x)＝x²−3x＋2＝(x-1)(x−2)　　　　　　　　　　 分解体は Q

f(x)＝x²−2＝(x−√2)(x＋√2)　　　　　　　　　　分解体は Q(√2)，  拡大次数 2　

f(x)＝x²−2x−1＝(x−1−√2)(x−1＋√2)　　 分解体は Q(√2)，  拡大次数 2

f(x)＝x⁴−2x²＋9
　　＝(x−√2−i )(x＋√2＋i )(x−√2＋i )(x＋√2−i )

                                                               分解体は Q(i ＋√2)，　拡大次数 4　

f(x)＝x³−1＝(x−1)(x²−x−1)　　　　　　　　　　分解体は Q(ω)，      拡大次数 2　

f(x)＝x³−2＝(x− 2)(x−ω 2)(x−ω² 2)　分解体は Q(√2，ω)，拡大次数 6　　　・・・　[*]

（注意）　

最後の [*] 式を例に説明すると， f(x)＝x³−2　は，α＝ 2　の Q 上の最小多項式 ( ＝既約多項式 ) となっており，3次式です。

そして，拡大体 Q( 2) の基底は，

1， 2， 2²

となります。分解体の拡大次数は6次元ですが，基底は，

1， 2， 2²，ω，ω 2，ω 2²　

です。ここで，ωはQ上の最小多項式　g(x)＝x²＋x＋1　の根で拡大次数は 2 です。

２．ガロア拡大

［１］　

証明は無用でしょう。　これは中間体を経由する有限次拡大の拡大次数の計算方法 [#] から自明なことです。

［２］

ガロア群と呼ばれる群の定義に必要な用語です。

例

例えば，有限体F₇上の代数方程式を解くときにすでに見ています。　　⇒　[#]

・　Q(√2) はQの正規拡大である。対応する最小多項式 x²−2 の根は±√2 なので。

・　Q（ 2） はQの正規拡大体ではない。対応する最小多項式 x³−2＝0 は 2 以外にも　ω 2，ω² 2　を根に持つが，これらは Q（ 2） に属さない。

［４］

有限次・正規 [#] ・分離拡大＝ガロア拡大　ということです。

［３］

特に，K/F が有限次分離拡大でもあるならば，「F 上の多項式 f(x) の分解体 K はガロア拡大である」 といえます。

証明

F上で分解体K の任意の元βを根に持つ多項式の共役元がすべて分解体K に含まれることを示せばよい。

(1)　F上のある多項式 f(x) の根をα₁，α₂，・・・，α_n とすると，分解体は K＝F(α₁，α₂，・・・，α_n) で表される。

(2)　また，Kの任意の元βは，α₁，α₂，・・・，α_nの適当な多項式 g(x₁，・・・x_n)∈F を用いて，

β＝g(α₁，α₂，・・・，α_n)　≡ g(…)　∈ K　　・・・　　[*]

と表すことができる [#]。

(3)　そこで，次の方程式を考える。

Φ(x)＝(x−σ₁(β)) (x−σ₂(β)) ・・・　(x−σ_n！(β))　
　　　＝(x−σ₁(g(…))) (x−σ₂(g(…))) ・・・　(x−σ_n！(g(…)))　

ここで，σ_k　（ k=1,2,…,n! ） はα_j 　(j＝1,2,…,n)　に作用するｎ文字の置換のすべて (σ₁＝e 単位元 ) であり，

σ_k(g(…))＝g(σ_k(α₁)，σ_k(α₂)，・・・，σ_k(α_n))　

という意味である。特に，σ₁(g(…))＝e(g(…))＝βなので Φ(x) はβを根に持つ。

(4)　また，Φ(x) を展開したときの xべき項の係数および，定数項はα₁，α₂，・・・，α_nの対称式になるので，σ_kによってそれらは不変である。

(5)　つまり，Φ(x) はF上の多項式，

Φ(x)∈F[x]

となっている。

(6)　ここで，βの最小多項式をφ_β(x) とすると，これはΦ(x) を割り切る [#] ので，φ_β(x)のすべての(βの共役)根はΦ(x) の根のいずれかに含まれる。

さらにその根は [*] よりα₁，α₂，・・・，α_n の多項式で表されているので，分解体 K の元である。　(終)

いろいろな用語をここまで準備してきましたが，それらを用いると簡明に次の定理を述べることができます。

［５］

証明

標数 0 の体 F の代数拡大体は F 上分離的 [#] であり，定理＊より F上の任意の多項式の分解体はFの正規拡大であることも分かる。　(終)

この定理はガロアの理論において非常に重要な定理といえますが，有理数体Q上の多項式ではほぼ自明なことです。

［６］　有限次拡大の単純性です。

証明　　体の元の個数が無限の場合について示せばよいでしょう。（有限の場合は原始元の存在としてすでに証明しています。[#] ）

(1)　α＝α₁，β＝β₁のそれぞれの最小多項式とその根のすべてを，

φ(x)　；　α₁，α₂，・・・，α_m  　
ψ(x)　；　β₁，β₂，・・・，β_n　　　←　分離拡大なので重根はない

とする。ただし，これらは有限個なのでこれらとは異なる元 c∈F が存在する。

(2)　この c を用いて，

θ＝α＋cβ ∈ F(α,β)

とおくと，明らかに

F(θ)⊂F(α,β)　　　　　　・・・・　　　(1)

である。

(3)　次に，この逆の包含関係を示したい。 F(θ) 上の多項式

Φ(x)＝φ(θ−cx )　　∈ F(θ)[x]，　c ∈ F ⊂ F(θ)

を考えると，

Φ(β)＝φ(θ−cβ)＝φ(α)＝0

を満たす。

(4)　一方，適当な c を選んで，β_j　( j＝2,3,…,n )　に対して，

θ−cβ_j ≠ α_k　　（k＝1,2,…,m)

となるようにしておく。(有限個のkに対して，cは無限この中から選ぶので必ず選び出せる！) そのとき，

Φ(βj )＝φ(θ−cβj )≠φ(αk)＝0

を満たしている。

(5)　すると，Φ(x) とψ(x) は最大公約因数として，

x−β　　←１次の因数でβ＝β₁だけを含んでいるのがいいんです！

だけをもっている。Φ(x)はもちろんのこと，ψ(x) ( ∈ F[x] ⊂F(θ)[x] ) も　F(θ)上の多項式なので，それらの最大公約因数 (x-β) も F(θ)上の多項式である。よって，

β ∈ F(θ)

である。さらに，これを利用して，

α＝θ−cβ∈ F(θ)

も直ちにわかる。

(6)　よって，

F(α,β)⊂F(θ)

が成り立つ。この結果と (1) とを合わせて，

F(α,β) ＝ F(θ)

が示された。(終)

［７］

この定理を繰り返し適用すれば，n 個の元を添加する有限次分離拡大体に対して，

F(α1，α2，･･･αn)＝F(θ)

を示すことができます

３．ガロア群

［１］　　念のために書いておくと，

α，βは K の任意の元です。

［２］　自己同型写像の定義も正確に書いておきましょう。

σ，τ･･･　を K自己同型写像とすると，それらの逆元，積，および，恒等写像もすべて自己同型写像であることは容易に確かめられ，それらの元全体は群をなします。この群を F上のK自己同型群 といい，G(K/F) と書きます。

特に，K が F の代数拡大体であるとき，α∈K の最小多項式を

φ(x)＝c₀＋c₁x＋c₂x²＋・・・・＋xⁿ

とし，ここへ根の一つαを代入すれば，

c₀＋c₁α＋c₂α²＋・・・・＋αⁿ ＝ 0

が成り立ちます。この式の全体に K の自己同型写像の一つを作用させると，各 c_k∈F は不変なので，

c₀＋c₁α'＋c₂α'²＋・・・・＋α'ⁿ ＝ 0　　ただし，σ(α)＝α'

となります。つまり，α' も最小多項式の根となっています。言い換えると，

σは最小多項式の根αを共役な根α'へ写す写像である。

ことが分かります。

［３］

［４］　ガロア群の位数 [#] は次の定理から定まります。

証明

（１）　ガロア拡大 K/F に対して，適当なθ∈K を選んで，K＝F(θ) とする [#]。

（２）　θの最小多項式は，

φ(x)＝c₀＋c₁x＋c₂x²＋・・・・＋xⁿ
　　　＝(x−θ₁)(x−θ₂)　・・・　(x−θ_n)　　　　 …　　(1)

とK上で1次まで因数分解することができ [#]，その次数 n は，拡大次数は [K：F] に等しい [#}。

（３）　最小多項式にθ (=θ₁) を代入して，

c₀＋c₁θ＋c₂θ²＋・・・・＋θⁿ＝0

ここで，ガロア拡大 K/F のガロア群 G(K/F) の任意の元σによるθの像を，σ(θ)＝θ'　として，上式にσを作用させると

c₀＋c₁θ'＋c₂θ'²＋・・・・＋θ'ⁿ＝0

つまり，θ'も(1)の根なので，σによってθは共役な元θ’に写る。

（４）　また，K の任意の元αは，

α＝a₀＋a₁θ＋a₂θ²＋・・・・＋a_n-1θ^n-1 　・・・・・　[*]

と一意的に表される [#] ことを考慮すれば，σの像θ'として共役な根θ_k (k＝1,2,…,n) のいずれかを対応させることで，K の F 上の自己同型写像σ_k∈G(k/F) のすべてが一意的に定められる。

（７）　正規拡大 [#] では，すべての共役元θ_k は K に属して，F(θ_k)＝K である。

以上から

n ＝　［k/F の拡大次数］　＝［θ_kの個数］　＝　［σ_kの個数］　＝［ガロア群の位数］

である。　　(終)

例

f(x)＝x²−2　の分解体 Q（√2）を考えると，これはQの2次の拡大体であり (基底は1，√2)，根√2の共役根−√2も含むので正規拡大であり，分離拡大でもある [#] のでガロア拡大である。

Q上のQ（√2）自己同型写像は，a，b∈Q として，

e (a＋b√2)＝a＋b√2 　　　　　　 (恒等写像)

σ（a＋b√2）＝a−b√2　　　　　　σ(√2)＝±√2

を定めることができる。σの逆元はσ自身である。ガロア群は　G( Q（√2）/Q)＝ {　e，σ} である。

したがって，

｜G( Q（√2）/Q)｜＝2＝[ G( Q（√2）：Q) ]

が成り立っている。

［目次へ］