6-1　余接ベクトル空間
f-denshi.com    ［目次へ］　最終更新日：22/04/10　　　　校正中
サイト検索

１．余接ベクトル空間と１次微分形式

[１]

T_p(M) はベクトル空間でした[#]。したがって，対応する双対空間を考えることができ，それを T_p^*(M) と表すこととします。

ω_p∈T_p^*(M) とすれば，それは線形関数に相当するもののはずです。それをきちんと書いておくと，

となります。もう一つ，

これは接ベクトル場 X に双対な場とみなせるので，余接ベクトル場と呼ぶこともできます。

（ここではω_p は微分（df）_pに相当しますが，次ページで見るように２次以上の形式に対しても同じ記号ω_pを使います。）

［２］　　ω＝{(ω)_p}_p∈M ，η＝{(η)_p}_p∈M　を多様体M上の１次微分形式とし，また，M から R への任意の関数を f とするとき，和，倍を，

和 ：　ω＋η＝{ω_p＋η_p}_p∈M

倍 ：　　fω 　＝ { f(p)ω_p }_p∈M

と定義すると，和・倍の演算後も１次微分形式となることは，ω_p，η_pが　”(双対空間の元) べクトル”　として振る舞うことから容易に分かります。

さらに，M上のベクトル場 X＝｛X_p｝_p∈M　と１次微分形式 ω＝{ω_p } が与えられているとき，各 p点において，接ベクトル X_p と１次形式 ω_pから，

ω_p ：　X_p → R 　；　　(T_p(M)　→　R　）

という実数への対応を考えることができますが，これを

ω_p(X_p) ∈R　

と書き， M上の点 p ∈M からこの実数値の関数として，

ω(X) ： p → ωp(Xp)

を定義することもできます。

［３］　　このとき，次の公式が成り立ちます。

公式 （１）　(fω＋gη)(X)＝f (ω(X))＋g (η(X)) （２）　ω(fX＋gY)＝f(ω(X))＋g(ω(Y))

ここで，f，g　はM上の任意の関数です。ベクトル・線形関数の性質を多様体上の場に拡張したものです。

２．1次微分形式の局所座標表示

［１］　　1次形式の場合は，

記号的には，　ωp　⇔　(df)p　と対応する

すなわち，多様体 M から1次元多様体 R （座標を y と表す) への写像（関数），

f ： M　→　R

に関する微分 [#]，

(df)_p ： T_p(M)　→　T_f(p)(R)

を考えると，これは線形写像です。T_f(p)(R)の元は，Rを1次元多様体とみて，

a		∂			f(p)
		∂y

つまり，実数 a と多様体R の基底		∂			f(p)	で表されます。
		∂y

これを実数 a と同一視すれば，(df)_p は，

(df)_p ： T_p(M)　→　R

という１次形式であり，(df)_p は余接ベクトル空間 T_p^*(M) の元です。

また，各点 p∈M から (df)_p∈T_p^*(M) への対応 {(df)_p}_p∈M は M上の1次微分形式であって，添え字p を取り除いて df と書くこととします。　

［３］　　まとめです。

続きの説明も下図を参考にして下さい。

（数直線（緑）は敢えてカーブさせて描いています。）

［３］

この公式の意味は，

左辺＝1次形式（線形写像）(df)_p をベクトル X_pに作用させる，
右辺＝方向微分としての X_p を関数 f に作用させる

ことで，１次元多様体Rへの実数値を対応させることが等価であることを示しています。これは多様体の微分のところで述べた公式3 の値域が R の場合に相当します。

［４］

証明

これは，Xp＝		∂			p	の場合を考えれば，
		∂xk

(dxj)p

∂

p

＝

∂

p

(xj)

∂xk

∂xk

＝		∂xj			p
		∂xk

＝		1　　　　(j＝k)
		0　　　　(j≠k)

と示すことができます。

(　双対基底 ： e ^j(e_k )＝δ_{j k}　　⇒　[#]　をみよ。）

［５］　　座標近傍 ( U，x₁,x₂,…,x_m ) が与えられているとき，ω_p∈T_p^*(M)

ω_p＝f₁(p)(dx₁)_p＋f₂(p)(dx₂)_p＋…＋f_m(p)(dx_m)_p

と表すことができます。f_j(p) は p ごとに定まる実数です。これをM上の各点p∈Mで考えることで，１次微分形式の局所座標表示となります。

［７］　次に f_k の表式を求めましょう。

ω＝f₁dx₁＋f₂dx₂＋…＋f_mdx_m　

に対して双対関係 [#] を用いて，次の量を計算すると，

ω

∂

＝f1

(dx1)

∂

＋･･･＋fk

(dxk)

∂

＋･･･＋fm

(dxm)

∂

∂xk

∂xk

∂xk

∂xk

＝f_k　　　　（　f_k：　p→f_k(p)　，p∈M）

つまり，ωの k番目の成分が f_k であることがわかります。

特に，局所座標が与えられていれば，公式１と同様に，

(df)

∂

(p)

＝

(df)p

∂

p

∂xk

∂xk

＝			∂			p	(f)
			∂xk

＝			∂f				(p)	・ (省略されたRの基底)
			∂xk

したがって，最初と最後の式を比較して，

(df)		∂			＝		∂f
		∂xk					∂xk

よって，

df＝

∂f

dxk＋

∂f

dx2＋･･･＋

∂f

dxm　　　・・・　[**]

∂x1

∂x2

∂xm

と初等解析学で見かける全微分を表す等式と同じ等式が得られます。

３．座標変換

［１］　多様体M の2つのC^r級座標近傍を （U_x，x₁,x₂,…,x_m)，（U_y，y₁,y₂,…,y_m)　とするとき，U_x∩U_y (≠φ) において，y_j を局所座標系（x₁,x₂,…,x_m) の関数と考えると，全微分 dy_j　は， [**]　式で，f を y_j として，

dyj＝

∂yj

dxk＋

∂yj

dx2＋･･･＋

∂yj

dxm  ･･･　(1)

∂x1

∂x2

∂xm

すなわち，j＝1，2，・・・，m について，

dyj＝ ∂yj dxk　　　［余接空間の基底変換］　　　　　･･･　(2) ∂xk

x，y について対称な関係にあるので，次式も成り立ちます。

dxj＝		∂xj			dyk　　　［余接空間の基底変換］　　　　　　･･･　(2)’
		∂yk

［２］

次に基底が変換されたときに成分がどのように変換されるのか調べます。1次形式が

ω＝f1dx1＋f2dx2 ＋…＋fmdxm＝		fkdxk　   　･･･　(3)

と表されているとします。一方，別の座標系では，

ω＝g1dy1＋g2dy2＋…＋gmdym＝

gj dyj

と表されているとします。ここへ dy_j　として，(2)式を代入すれば，

ω＝		gj			∂yj			dxk
					∂xk

＝				gj	∂yj			dxk
					∂xk

この式を(3)と比較して，k＝1，2，・・・，m について，

fk＝ ∂yj gj 　　　　[成分の座標変換] ∂xk

(2)’を利用して，x と y を入れ換えて考えれば，

gk＝					∂xj		fj	[成分の座標変換]
					∂yk

も成り立ちます。

［目次へ］

以下，メモ書き

多様体の場合と一般相対性理論の基底（座標）変換の比較

接ベクトル空間　Tp(M)		余接ベクトル空間　Tp*(M)
基底　 ∂ p 　（ ＝ek ） ∂xk		基底　(dxk)p　　（＝ek）
接ベクトル場		１次微分形式 (余接ベクトル場)
X ＝ {Xp}p∈M ： p → Xp　∈Tp(M)		ω ＝ {ωp}p∈M  ：  p →  ωp ∈ Tp*(M) df  ＝{(df)p}p∈M ： p → (df)p ∈ Tp*(M)
Xf ：  p ∈ M　→  Xp(f) ∈ R   　                      f はpの関数		ω(X) ： 　p ∈ M → ωp(Xp) ∈ R　 (df)(X) ：　p ∈ M → Xp(f) ∈ R
X ＝χ1 ∂ ＋…＋χm ∂ ∂x1 ∂xm		ω ＝f1dx1＋…＋fmdxm df＝ ∂f dx1＋･･･＋ ∂f dxm ∂x1 ∂xm
数学（多様体）で利用する表記 　　（緑=反変，赤=共変）
∂ ＝ ∂xk ∂ ∂yj ∂yj ∂xk	∂ ＝ ∂yk ∂ ∂xj ∂xj ∂yk	dyj＝ ∂yj dxk ∂xk	dxj＝ ∂xj dyk ∂yk
ηk＝ ∂yk χj ∂xj	χk＝ ∂xk ηj ∂yj	gk＝ ∂xj fj ∂yk	fk＝ ∂yj gj ∂xk
物理（一般相対性理論）で利用する表記　（添え字の上下，アインシュタインの縮約）
∂ ＝ ∂xk ∂ ∂x'j ∂x'j ∂xk e'j＝ ∂xk ek ∂x'j	∂ ＝ ∂x'k ∂ ∂xj ∂xj ∂x'k ej＝ ∂x'k e'k ∂xj	dx'j＝ ∂x'j dxk ∂xk e'j＝ ∂x'j　 ek ∂xk	dxj＝ ∂xj dx'k ∂x'k ej＝ ∂xj　 e'k ∂x'k
x'j＝ ∂x'j　 xk ∂xk	xj＝ ∂xj　 x'k ∂x'k	x'j＝ ∂xk　 xk ∂x'j	xj＝ ∂x'k x'k ∂xj
ユークリッド空間との比較
ベクトル空間　V		双対空間　V*
基底　　ej		基底　　ej
e'j＝pkjek	ej＝qkje'k	e'j＝qjkek	ej＝pjke'k
x'j＝qjkxk	xj＝pjkx'k	x'j＝pkjxk	xj＝qkjx'k

X　＝　a₁e₁＋・・・＋a_me_m　　＝　ω₁(X)e₁＋・・・＋ω_m(X)e_m

表記上の注意

pmn　⇔	∂xm	，	qmn　⇔	∂x'm
	∂x'n			∂xn

x'k ⇒ yk　，および，ej＝		∂			，	e'k＝		∂			と書いて，
		∂xj						∂yk

ej＝

∂x'k

e'k

⇔

∂

＝

∂yk

∂

∂xj

∂xj

∂xj

∂yk

座標変換の式とベクトルの成分とで変数の記号を区別すれば，

x'j＝	∂x'j	xk	⇔	ηj＝	∂yj		χk
	∂xk				∂xk

と書くこともある。