Appendix　　クラマース･クローニッヒ変換（K-K変換）
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［１］　応答関数 G(τ)を用いて誘電関数を導いたときと同様に[#]，電気変位 D(t) を

D(t)＝ε0E(t) ＋

ε0E(t−τ)G(τ)dτ

とおきます。 電場が，E(t)＝E₀･e^{−i ωt} で与えられる場合，これを上式に代入して整理すれば，

D(t)＝ε0E0e−i ωt

1＋

G(τ)ei ωτ dτ

これを，D(t) ＝ε₀ε_rE(t) ＝ ε₀ε_rE₀e^{−i ωt}　と比較すれば，

εr(ω)＝

1＋

G(τ)ei ωτ dτ　　　　　････････　[*]

の関係があることがわかります。[*]は正則関数なので[#]，次のような積分を実行できます。

さらに，実数部と虚数部に分けて表示するために，

εr(ω)＝ε1(ω)＋i ε2(ω)　；　　ω＝ω1＋i ω2

と置きます。すると，[*]は

ε1 (ω1，ω2)＝

1 ＋

G(τ)cosω1τ･e-ω2τ dτ　　　　［実数部］

ε2 (ω1，ω2)＝

G(τ)sinω1τ･e-ω2τ dτ　　　　　　　　［虚数部］

と分けて書くことができます。

成分で書くために，ε_r(ω)＝ε₁(ω)＋i ε₂(ω) を，[***]に代入して，この積分が実軸上で行われることに注意すれば，

が得られます。クラマース･クローニッヒ変換（K-K変換）と呼ばれます。また，

ε₁(−ω)＝   ε₁(ω)
ε₂(−ω)＝−ε₂(ω)  

を利用して，積分範囲を正の区間にまとめると，

	ε2(Ω)	dΩ＝		ε2(Ω)	dΩ＋		ε2(Ω)	dΩ
	Ω−ω			Ω−ω			Ω−ω

＝		ε2(−Ω)	dΩ＋		ε2(Ω)	dΩ
		−Ω−ω			Ω−ω

＝		ε2(Ω)	dΩ＋		ε2(Ω)	dΩ
		Ω＋ω			Ω−ω

＝2		Ωε2(Ω)	dΩ
		Ω2−ω2

および，

	ε1(Ω)−1	dΩ＝		ε1(Ω)−1	dΩ＋		ε1(Ω)−1	dΩ
	Ω−ω			Ω−ω			Ω−ω

＝		ε1(−Ω)−1	dΩ＋		ε1(Ω)−1	dΩ
		−Ω−ω			Ω−ω

＝		ε1(Ω)−1	dΩ＋		ε1(Ω)−1	dΩ
		−Ω−ω			Ω−ω

＝2		ω(ε1(Ω)−1)	dΩ
		Ω2−ω2

まとめると，

ε1(ω)−1＝ 2 ･P Ωε2(Ω)  dΩ π Ω2−ω2 ε2(ω)＝− 2 ･P ω(ε1(Ω)−1)  dΩ π Ω2−ω2

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ε_r(ω)の正則性の証明：

複素関数ε_r(ω)は正則関数：

ε1(ω1，ω2)＝

1＋

G(τ)cosω1τ･e-ω2τdτ　　　　［実数部］

ε2(ω1，ω2)＝

G(τ)sinω1τ･e-ω2τdτ　　　　　　　　［虚数部］

これらから

∂ε1	＝	∂ε2	，及び，	∂ε1	＝−		∂ε2
∂ω1		∂ω2		∂ω2			∂ω1

となり，複素関数ε_r(ω)は，複素解析学におけるコーシー･リ−マンの関係 [#] を満たしています。

小さな半円上の積分：

小円C上の積分は，ε_r(ω)の正則性から，r → 0 (ω≒ω₀)のとき，ε_r(ω)→ε_r(ω₀)　として，これを積分の外へ出すと，

	εr(ω)−1	dω＝(εr(ω0)−1)			dω
	ω−ω0				ω−ω0

また，ω−ω₀≡re^iθ，　　dω＝ire^iθdθ  とおき，変数変換すると，

＝	(εr(ω0)−1)		i reiθdθ	＝−iπ(εr(ω0)−1)
			reiθ

のように積分できます。

追加分

n² ＝ε_r なる関係からわかるように複素屈折率，n ＝n　＋i κ も正則な関数であり，上と同様な計算の結果，

n(ω)−1＝ 2 ･P sκ(s)  ds π s2−ω2 κ(ω)＝− 2 ･P ωn(s)  ds π s2−ω2

が得られます。一方，垂直入射振幅反射率 r(θ)[#]，

	(1＋ωs)ln r(s)	ds
	(1＋s2)(ω−s)

の積分から，( 計算は[#] )

θ(ω) ＝　− ω ･P  lnR(s)−lnR(ω)  ds π s2−ω2

この式は，垂直入射パワー反射率 R(ω) から振幅反射率の位相θを求めるために使います。

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