125　軌道角運動量
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１．角運動量演算子の定義

［１］　

軌道角運動量演算子

角運動量と呼ばれるエルミート演算子Lを次の通り定義する。
L ＝ r ×p
これは演算子 r＝（x，y，z） と p＝（px，py，pz） との外積で，

　　    　L ＝ （Lx，Ly，Lz）
　　　　     ＝（ ypz−zpy，zpx−xpz，xpy−ypx ）                                                     [*]

古典的角運動量を量子力学的演算子とするためには，

 x　⇒　x，   y　⇒　ｙ， 　z　⇒　z

px　⇒　−ih

 ∂

， px⇒−ih

 ∂

， px⇒−ih

 ∂
∂x ∂y ∂z

と変換しました。これを [*] に代入し，さらに，球座標 [#] に変換するとそれぞれ次のとおりとなります。計算 ⇒ [#]

Lz ≡−ih x ∂ −y ∂ ＝−ih ∂
∂y ∂x ∂φ
Lx ≡−ih y ∂ −z ∂ ＝＋ih sinφ ∂ ＋cotθcosφ ∂
∂z ∂y ∂θ ∂φ
Ly ≡−ih z ∂ −x ∂ ＝−ih cosφ ∂ −cotθsinφ ∂
∂x ∂z ∂θ ∂φ

［２］　頻繁に用いることとなる昇降演算子を，

（I ）　L+ ＝ Lx＋iLy
（II）　L- ＝ Lx−iLy

と定義します。Lx，Ly　をこれらの式に代入すると，微分演算子として，

L± ≡h exp(iφ) ± ∂ ＋ i ･ ∂ 　　　　
∂θ tanθ ∂φ

が得られます。さらに，

L2 ＝ LxLx＋LyLy＋LzLz
　　＝ 1 （L＋L−＋L−L＋）＋Lz2
2
＝−h2 　1 ･ 　∂2 ＋ 　1 ･ ∂ sinθ ∂
sin2θ ∂φ2 sinθ ∂θ ∂θ

を計算することもできます。

この最後の括弧の中はラプラシアンを球座標表で示した[#]，

∂2 ＋ ∂2 ＋ ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
⇒
∂2  ＋ 2 ･ ∂  ＋ 1 Λ
∂r2 r ∂r r2

におけるΛの部分に等しくなっています。すなわち，

角運動量の二乗の演算子とラプラシアンとの関係
∇2　⇒　 ∂2  ＋ 2 ･ ∂  ＋ 1 Λ
∂r2 r ∂r r2

L2 ＝ −h2Λ
ただし，
Λ ＝ 　1 ･ ∂ sinθ ∂ ＋ 　1 ･ ∂2
sinθ ∂θ ∂θ sin2θ ∂φ2



２．角運動量と球面調和関数（波動関数として）

［１］　水素様原子のシュレーデンガー方程式の角度依存のある部分は分離することができて，次の通りでした[#]。

  ΛY（θ,φ）＋λY（θ,φ） ＝ 0       　   ･････　(1) 

この固有方程式の解は球面調和関数と呼ばれます。また，Λは先ほど示したように軌道角運動量と関係づけられ，

  L2Y（θ,φ）＝λh2Y（θ,φ） ＝ 0          ･････　(1)’ 

という関係も成り立ちます。この方程式の解法は微分方程式論 [#] に譲り，ここでは結果だけを示すこととします。


［２］　固有方程式（１）’の解（固有関数）は，Lzの固有関数でもあり （L2の同時固有関数[#]），

L2 Ylm（θ,φ）＝l （l ＋1）h2 Ylm（θ,φ）

LzYlm（θ,φ）＝mh Ylm（θ,φ）

ただし，

ｌ　　＝　0，1，2，･･･
m　＝　-l，･･･，0，1，･･･，ｌ　　

となります。また，L+，L- に対して，

L+Ylm（θ,φ）＝ ［(j−m)(j＋m＋１)］1/2 h Ylm+1（θ,φ）

L-Ylm（θ,φ）＝ ［(j＋m)(j−m＋１)］1/2 h ･Ylm-1（θ,φ）

を満足します。この演算子の性質は一般角運動量の説明 [#] を参考にして下さい。

方向固有ケット｜n＞と内積 (ブラケットの完成) をとった＜n (θ,φ)｜l ，m＞＝Ylm-1（θ,φ）
角運動量固有ケットのj は球面調和関数では，l の記号が使われる。

［３］　Ylm（θ,φ）の関数形は，

Ylm（θ,φ）＝
(−1)m
2l ＋ 1 ･ (ｌ−m)！
4π (ｌ＋m)！
　Plm(cosθ)･exp(i mφ)  　　　　[m≧0]
(-1)|m| Yl|m|（θ,φ）*　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[m＜0]
ただし，Pl m(x) ＝(1−x)m/2 dm Pl(x)
dxm
                      ＝ (-1) m 1−x2) m/2 dl＋m (x2−1)l　
2ｌ ･ｌ！ dxl＋m　
および，Pl(x) 　＝ 1 ･ dl (x2−1)l　
2ｌ ･ｌ！ dxl　

同じことだけど，

Ylm（θ,φ）＝
2l ＋ 1 ･ (ｌ−|m|)！
4π (ｌ＋|m|)！
Pl |m|(cosθ)･exp(i mφ)×(−1)(m+|m|)

と書いてもよいでしょう。


［４］　Ylm（θ,φ）は，完全系を作っており，正規直交性については，

Ylm(θ,φ)* Yｌ'm'(θ,φ) sinθdθdφ＝δｌ ｌ 'δmm'

であることを示すことができます。



［５］　交換関係

［Lz，Lx］＝ihLy　
［Lx，Ly］＝ihLz　
［Ly，Lz］＝ihLx
まとめて，

　　　［Li，Lj］ ＝ ihεijkLk

ここで，εijk　はエディントンのイプシロン[#] です。

位置と運動量との交換関係 ［rj，pk］＝ ihδjk  を用いてコツコツ計算すれば示すことができます

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以下，著者のメモ書き

方向固有ケット

ハミルトニアンHが球対称　⇒　＜r’｜n，l，m＞Rnl（r）Ylm（θ,φ）
　　　　　　　　　　　　　　　    ⇒　H が L2，Lz と交換する。

　　　　　　　　　　　　　　　　  ⇒　角度依存性を取り出すケット，（ブラ）； ＜n｜l，m＞

＜n｜l，m＞：　状態　｜l，m＞ において，方向（θ,φ）に見出される確率


波動力学との

＜r，θ,φ｜Lz｜ψ＞＝−ih ∂ ＜r，θ,φ｜ψ＞
∂φ

運動量の位置表示[#]を用いると次の一連の関係式が導かれます：

球座標[#]で，｜r’，θ’，φ’＞⇒｜r’＞ と書くことにすれば，

＜r’｜Lz｜ψ＞＝−ih ∂ ＜r’｜ψ＞
∂φ
＜r’｜Lx｜ψ＞＝−ih −sinφ ∂ −cotθcosφ ∂ ＜r’｜ψ＞
∂θ ∂φ
＜r’｜Ly｜ψ＞＝−ih cosφ ∂ −cotθsinφ ∂ ＜r’｜ψ＞
∂θ ∂φ

および，

＜r’｜L+｜ψ＞＝−ih･exp（＋iφ） ＋i ∂ −cotθ ∂ ＜r’｜ψ＞
∂θ ∂φ
＜r’｜L-｜ψ＞＝−ih･exp（−iφ） −i ∂ −cotθ ∂ ＜r’｜ψ＞
∂θ ∂φ

また，

＜r’｜L2｜ψ＞＝−h2 　1 ･ 　　∂2 ＋ 　1 ･ ∂ sinθ ∂ ＜r’｜ψ＞
sin2θ ∂φ2 sinθ ∂θ ∂θ

　　　　　　　　　　　＝−h2Λ＜r’｜α＞

波動力学での演算子